2021版高考数学一轮复习第八章数列853数列建模问题练习理北师大版

8.5.3 数列建模问题 核心考点·精准研析 考点一 等差、等比数列简单的实际应用 现在有一个这样的细,2个1.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为) 问细菌将病毒全部杀死至少需要( 菌和100个这样的病毒, 秒钟 B.7秒钟 A.6 秒钟C.8秒钟 D.9 2.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根5尺长的金杖,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”根据上面的已知条件,若金杖由粗到细是均匀变化的,问中间3尺的重量为 ( ) A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤 ,公差为,则这个多边形的边数为________. 3.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为4.为了观看2022年的冬奥会,小明打算从2018年起,每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后,他的账户中一共有________元;到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则可取回________元. 12n-1【解析】1.选B.设需要n秒钟,则1+2+2+…+2≥100,所以≥100,所以n≥7. 2.选B.依题意,金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,记为{a},则a=4,a=2, 51n由等差数列的性质得a+a=a+a=2a=6,所以a=3,所以中间3尺的重量为a+a+a=3a=9(斤). 31523433243.由于凸n边形的内角和为(n-2)π, 故n+×=(n-2)π. 2化简得n-25n+144=0.解得n=9或n=16(舍去). 答案:9 4.依题意,2019年1月1日存款a元后,账户中一共有a(1+p)+a=(ap+2a)(元). - 1 - 日可取出钱的总数为2022年1月1234+a(1+p) a(1+p)+a(1+p)+a(1+p) =a· 55-1-p]. -(1+p)]=[(1+p)=[(1+p) 5-1-p] [(1+p):(ap+2a) 答案 1.解答数列应用题的步骤. (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. 将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中 2.具体解题步骤用框图表示如下 考点二 数列的实际应用 该商店在经销这一产品期,,市场调研表明万元经销某种纪念品,经销时间共60天【典例】某商店投入81 *商店将每天获得的为了获得更多的利润,∈N).,n天的利润间第na=(单位:万元n =.例如,b=记第n天的利润率b. (1)求,利润投入到次日的经营中3n. ,b的值b21. n(2)求第天的利润率bn 【解题导思】题目拆解 序号(1)①a = a 以分段函数给出,注意变量范围 nn - 2 - = b②n 结合例子b=,求b,b ,231 ,b求b的值21 , =结合a天的利润(2求n为分段函数形求注n ; 【解析】(1)当n=1时,b=1 . =时,b当n=22=1, =a=a==a201(2)当≤n≤时,a=a…n2n-131 . b所以==n, 时60n当21≤≤ b=n = . == 天的利润率所以第n b=n - 3 - . 并求该日的利润率求该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?1.若典例中条件不变, ; 的最大值为b=时,b递减=,此时b【解析】当1≤n≤201nn ”成,“=当且仅当60n≤时,b,=n==即≤n=40时=当21≤n . 立 . )=<,所以当n=40时又因为,(bmaxn . ,且该日的利润率为所以该商店在经销此纪念品期间,第40天的利润率最大? 天的利润总和是多少2.若典例中条件不变,60 40后的前20,a项是常数列=,,所以{a}60=a=a1【解析】当≤n≤20时,a=a=…=a=1,当21≤n≤时nn-112n3n ). ×S=20+40=182(×+万元项是以为首项,为公差的等差数列以,所以60. 天的利润总和是182万元所以60 解答数列实际应用问题的步骤.等比数列模型、简单递推数列模型理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、(1)确定模型类型:: 基本特征如表 征本 特基 数列模型 均匀增加或者减少等差数列 常见的是增长率问题、存款复利问题指数增长或减少, 等比数列作为下年)a(常数.指数增长的同时又均匀减少如年收入增长率为简单递推 20%,每年年底要拿出-a a=1.2a即数列 数列{a}满足度的开销,nnn+1在等,)()(,:(2)准确解决模型解模就是根据数列的知识求数列的通项、数列的和、解方程组或者不等式组. 解模时要注意运算准确 - 4 - 在解题中不要忽视了:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,(3)给出问题的回答. 这点 ,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车为了加强新旧动能转化,某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车,计划以400辆;今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车替换车为电力型和混合动力型车 a辆混合动力型车每年比上一年多投入后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,S(n). ,该市被更换的公交车总数(1)求经过n年. a的最小值若该市计划7年内完成全部更换,求(2). n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量设a,b分别为第【解析】(1)nn }{a的等差数列.所以公差为1+50%=的等比数列,{b}是首项为400,a,依题意得{a}是首项为128,公比为nnn 项和的前n , ==256Sn a. T=400n+{b}的前n项和nn ,该市被更换的公交车总数为年所以经过n a. S(n)=S+T+400n+=256nn10 000, ≥年内完成全部更换7,则S(7)(2)若计划 10 000, ≥7+a所以256+400× . ≥146即21a≥3 082,所以a*147. 的最小值为所以∈N,aa又 数学文化与数列 考点三 1.考什么:考查数列的递推关系,等差、等比数列的通项公式或前n 项和 命题 2.怎么考 精解:以古今数学文化为载体的数列问题 - 5 - ,如《九章算术》《算法统宗》《律学新说》等世界数学名著中挖掘素材:从中国古代数学名著,读 3.新趋势 也可从古代诗歌、传说中进行提炼 学霸,a还是S,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求解决数列应用问题nn 好方.