2021版高考数学一轮复习第十章平面解析几何1092圆锥曲线的最值问题练习理北师大版

圆锥曲线的最值问题10.9.2 核心考点·精准研析 考点一 几何法求最值 2222的最小值、=1上的点,则|PM|+|PN|+是椭圆=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)+y=1和(x-4)+y设1.P) 最大值分别为 ( C.8,12 B.8,11 A.9,12 D.10,12 22.已知点A是抛物线C:y=4x上的一个动点,点A到直线x-y+3=0的距离为d,到直线x=-2的距离为d,则21d+d的最小值为 ( ) 21 A.+2 B.2 C.+3 D.2+1 【解析】1.选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点A,B,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12. 2.选D.抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,则d=|AF|+1.故d+d=|AF|+d+1. 1212 显然,当点A为点F到直线x-y+3=0的垂线段与抛物线的交点时,|AF|+d取到最小值d==2.1 故d+d的最小值为2+1. 21 几何方法求解圆锥曲线中的最值问题,即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化,利用平面几何中的定理、性质,结合图形的直观性求解最值问题.常用的结论有: (1)两点间线段最短; (2)点到直线的垂线段最短. - 1 - 考点二 代数法求最值问题 ; :(1)考查圆锥曲线中相关最值问题的求解1.考什么考查数学建模、数学运算以及逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归 (2)命. 题 等数学思想方法; 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题怎么考2.精 :(1)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一(2) 解. 些问题读 . 最值问题与函数、不等式等其他知识相结合3.新趋势:: 1.学 代数法求解最值问题的解题思路然后转化为首先需要根据题目的条件和结论找出明确的函数关系 ,建立起目标函数,霸. 好 ,最值常用基本不等式法、配方法、函数单调性法等求解函数的最值求解采用相应的方法要根据函数解析式的结构特征灵活变形,交汇问题方 :求解函数最值,2 求解法 利用基本不等式求最值 已知∠,,P,F为它的左、右焦点为椭圆上一点【典例】已知椭圆+=1(a>b>0),F21 ,且椭圆的离心率为. =60FPF°,=21. (1)求椭圆方程. 面积的最大值的直线与椭圆交于T(-4,0),过TM,N两点,求△MNF已知(2)1 【解题导思】题目拆解序号 建立方程组求,转化已知,利用椭圆的定义和几何性质a,b (1)求参数 . 解消元后直线方程和椭圆方程联立方程组,,设直线方程 求(2)①M,N两点坐标的关系 利用根与系数的关系建立坐标的关系式 把所求三角形的面积用两个三角形面积之,F利用点1 的面积MNF②求△1 ,差表示建立面积模型从而进行坐标运算, - 2 - 通过化简构造基本不等式求解,根据式子的结构特征 求面积的最值③ 最值 ①|PF|+|PF|=2a,【解析】(1)由已知,得21222, |cos 60°=4c||+|PF-2|PF|PF||PF2211222 ,②|+|PF|-|PF即|PF||PF|=4c2211 |=4,③=,即|PF||PF|sin 60|PF||PF°2211 22, 又-c==3.a联立①②③解得22=4, 所以c=1,a 222=1. -c+b=3,=a椭圆方程为0. 且不为MN的斜率存在,根据题意可知直线(2)x=my-4, 直线MN的方程为),N(x设M(x,y,y),212122-24my+36=0, +4)y代入椭圆方程整理得(3m222>4. (3mm+4)>0,所以则Δ=(-24m)36-4×× , =+y=,yyy2211 | 的面积MNF=|-则△1 -y|=·=|TF||y211 . =×=6×≤=18==6 2. 的条件>0)取得等号Δ(m,当且仅当=即=时此时适合 . 面积的最大值为故△MNF1 - 3 - 利用函数单调性求最值 y与,F,A为椭圆C【典例】已知椭圆上一点C:,AF+=1(a>b>0),的离心率为左、右焦点分别为F112 轴交于点B,|AB|=|F. B|,|OB|=2 . 的方程(1)求椭圆Cx=3为原点,直线ON交直线交椭圆于P、Q两点,若PQ的中点为N,O的直线(2)过右焦点Fy=k(x-2)(k≠0)2 . 求M.的最大值于点 【解题导思】 序号题目拆解 ,建立方程组求解 a,b 利用椭圆的几何性质,转化已知(1)求参数消元后利用根与系数直线和椭圆方程联立方程组, N点坐标(2)①求 N点坐标的关系求点坐M联立,即可求得ON求直线方程,与直线x=3 点坐标②求M 标 构建目标函,利用坐标分别表示出两条线段的长度 ③求 数通过换元转化为二次函数,根据目标函数结构特征 求最值④ 的最值问题求解⊥AF,所以BO,又因为⊥FF的中位线为△B|,由题意得连接【解析】(1)AF,|AB|=|FB|=|F所以BOFAF22121212 22222=2, =6,b得+c,ae=,|=2|BO|=|AF,FF且=又==b,a212 - 4 - =1. 故所求椭圆方程为+ 2222-6=0. x+12k+1)x-12k(2)联立 ,可得(3k , ==,xx),Q(x设P(x,y,y),则x+x22111212 , )-4k=+y=k(x+x所以y2211 , 的坐标为,|PQ|=所以PQ的中点N , ,|MFMy=-x,从而点|=因此直线ON的方程为为2 2 则+1,=,设令I=u=3k =-I=8 , =- . 时取得最大值±因此当u=4,即k=1 的离心率为则椭圆3,C的最大值为,P分别为椭圆已知1.F,FC的两个焦点为椭圆上任意一点.若21) ( A.B. C.D. - 5 - 所以3,=3,又的最大值为B.P选点到椭圆C的焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,【解析】 e=所以. 22P的中垂线与CF交于关于原点对称与圆心F.线段CF′2.已知点C是圆F:(x-1)+y=16上任意一点,点F′. 点E. 求动点P的轨迹方程(1)恒在曲线点BB,与直线PF交于点证明:A(4,0),若直线PQ⊥x轴且与曲线E交于另一点Q,直线AQ(2)设点. PAB面积的最大值E上,并求△又′|=|PC|.中垂线上的点,所以|PF点坐标为(1,0),F′(-1,0),因为P为CF′,F【解析】(1)由题意得为E,2a=4,c=1