§7 1 微分方程的基本概念习题

174 时间 姓名 成绩 专业 班级 学号 §7-1 微分方程的基本概念 一、判断题 2x?y=2x的特解。 的任意常数)是 ( 1.y=ce ) (c3??y)是二阶微分方程。 2.y=( ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 。 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 2x? y=1的曲线是 +c 积分曲线y=(cx)e 中满足y=0, 。 3.x=0 x=021 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 22a?da?xarctan22 222??0?(e)y +y=x(B)、 y+、、 (C)、+=0 （D）（A）x+y=a 22dxx?y?2.下列方程中 是二阶微分方程 ?y222322?????????yyyyy ) =sinx +3xy=x-y (C) （A）（+y=0 ）+x (D)+x =0 (B) (+32yd23.微分方程+wy=0的通解是 其中c.cc均为任意常数 21. 2dx （A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=ccoswx+csinwx (D)y=c coswx+c sinwx 212 ?yy33 = 的一个特解是 C4. 是任意常数，则微分方程 3 3 33 +1 (C) y=(x+c)(D)y=c(x+1) （A）y-=(x+2) (B)y=x 四、试求以下述函数为通解的微分方程。3xx222C,CCeC?CCx?Cy?ey?为任意常数）（其中（其中 1．为任意常数）2. 2121五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。 7-2可分离变量的微分方程 一、求下列微分方程的通解 22ytanxdy=0 sec.tacydx+sec1． 22y+y)dy=0 )dx-(x2． (x+xyx+yxx+yy)dy=0 (e-e-e)dx+(e．3?y=cos(x-y).(提示令．4 .x-y=z) 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解． 175 时间 成绩 学号 姓名 专业 班级 ?-x )sinydy=0. y cosydx+(1+e=1．x=0 4 secxdy?xdx.y??1 2. ?32y1??x 2x?f(u)du,f(x)是可微函数，求、设f(x)=x+f(x) 三 0四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。 五、船从初速v=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求0船速随时间变化的规律。 7-3齐次方程 一、求下列齐次方程的通解 yyy??0)yxdx-xcosdy=0 2 (x+ycos 1 -xsin xxx二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 dy2222 )dx=0ydy+(xy-y=1 2.x =2e 1．xy =x+y y x=1x=e ax三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy的通解 ??AOOA 上任一点A（1，1）一段向上凸的曲线孤对于0)四、设有连结点O(0，和??2AOOP ，求曲线孤的方程。直线段所围图形的面积为 P（x，y）,曲线孤与x?OP 7.4 一阶线性微分方程 一、求下列微分方程的通解 x??yy+ytanx=sin2x 2. 1.x +y=xe 1sinxdyy?y??y 4. 3. + 3yxxdxx?ye二、求下列微分方程满足初始条件的特解 ??yyy? ??0y 2.(2x+1)e 2ey=4 1． cosy+siny =x y 0 x?0 x?4y??b?dx?f(x(sinx?fx))dy?与路径无关，求函数三、已知f(x). f(),曲线积分 ax 四、质量为M 克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率0减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。 176 时间 成绩 学号 姓名 专业 班级 五、 求下列伯努利方程的通解 1252xy?lnx=0 +y-y2. xy′ y1．′+ y x 7-5全微分方程 一、求下列方程通解22)+3x]dy=0 1．[cos(x+y)+3y]dx+[2ycos(x+y 2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0 yy-2y)dy=0 dx+(xe3.e 二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解2xdx=0 1 ydx-xdy+y xxdy=0 2 y(2xy+e)dx-e 2试求函f(x)连续可微，f(0)=0,三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+xy]dy=0为全微分方程，其中函数 数f(x)，并求该方程的通解。 7-7 可降阶的高阶微分方程 一、求下列各微分方程的通解?????yyy=x - 2. =xsinx 1． x2???????yyyyy=0 4. (1+e)+ 3.y +( ) = 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解???? ??1yy y ．12 =sin2y 0 x?0 x?22??????e??2 yyyyy -y lnlnx=0 2. x +1x?1x?f(x)f(t)x