2019年07方向导数与梯度

第七节方向导数与梯度 分布图示分布图示 ★ 引例★ 数量场与向量场的概念 ★ 方向导数的概念★ 例 1★ 例 2 ★ 例 3★ 例 4★ 例 5 ★ 梯度的概念 ★ 例 6★ 例 7★ 例 8 ★ 梯度的运算性质及应用（例9）★ 例 10 ★ 等高线及其画法 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题 9—7★ 返回 内容要点内容要点 一、一、场的概念场的概念： 数量场向量场稳定场不稳定场 二、二、方向导数方向导数 ff (x  x, y  y)  f (x, y)  lim. 0 l 定理定理 1 1如果函数z  f (x, y)在点P(x, y)是可微分的，则函数在该点沿任一方向l 的方 向导数都存在，且 fff cossin,（7.1） lxy 其中为 x 轴正向到方向 l 的转角（图 8-7-2）. f  f  三、三、梯度的概念梯度的概念：gradf (x, y) i j. xy f f  fff cossin, {cos,sin}  gradf (x, y)e | gradf (x, y)|cos, lxy x y 函数在某点的梯度是这样一个向量函数在某点的梯度是这样一个向量 , , 它的方向与取得最大方向导数的方向一致它的方向与取得最大方向导数的方向一致 , , 而它而它 的模为方向导数的最大值的模为方向导数的最大值. . 梯度运算满足以下运算法则：设u,v可微，,为常数，则 （1） gradgrad(u v) gradgradu gradgrad v; ; （2） gradgrad(u v)  ugradgradv  vgradgrad u; ; （3） gradgradf (u)  f (u)gradgrad u. . 四、四、等高线的概念等高线的概念 例题选讲例题选讲 方向导数方向导数 例例 1 1（（E01E01））求函数z  xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.   解解这里方向l即为PQ{1,1},   故x轴到方向l的转角 . 4  z x  e2y (1,0) (1,0) 1, z y  2xe2y (1,0) (1,0)  2, 所求方向导数 2z  cos 2sin  . 2l  4  4  例例 2 2 求函数f (x, y)  x2 xy  y2在点(1,1)沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向 导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值;(2) 最小值;(3) 等于零? 解解由方向导数的计算公式知 f l  f x (1,1)cos f y (1,1)sin (1,1)  (2x  y) (1,1) cos(2y  x) (1,1) sin    cossin2sin , 4  故(1) 当 (2) 当 (3) 当 例例 3 3（（E02E02））求函数u  ln(xy2 z2)在点 A(1,0,1)处沿点 A 指向点B(3,2,2)方向的方 向导数.  4 时，方向导数达到最大值2; 5 时，方向导数达到最小值2; 4 37 和时，方向导数等于 0. 44 解解这里l为AB {2,2,1}的方向,向量AB的方向余弦为 221 cos, cos , cos, 333 又 11y1zuuu ,,, 222222 x x y2 z2 y x y2 z2 z y  zx y  zy  z 所以 u x  A 1u , 2y  0, A u z A 1 . 2 于是 u l  A 12 2 111  0  . 23  3322  例例 4 4求f (x, y,z)  xy  yz  zx在点(1,1,2)沿方向l的方向导数, 其中l的方向角分 别为 60℃, 45℃, 60℃.  解解与l同向的单位向量   1 2 1 el{cos60,cos45,cos60},, .  2 2 2  因为函数可微分,且 f x (1,1,2) (y  z) (1,1,2) 3, f y (1,1,2) (x  z) (1,1,2) 3, f z (1,1,2) (y  x) (1,1,2)  2. 故 f l  3 (1,1,2) 1211 3 2(53 2). 2222  例例 5 5（（E03E03））设n是曲面2x23y2 z2 6在P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数 1 u (6x28y2)2在此处方向n的方向导数. z 解解令F(x, y,z)  2x23y2 z26,Fx p 1  4x p  4,Fy p  6y p  6,Fz p  2z p  2,  故n{Fx,Fy,Fz}{4,6,2}, |n |42 62 22 2 14, 方向余弦为 cos 2 14 ,cos 3 14  ,cos 6 14 8 14 1 14 . u x u y  p 6x z 6x 8y 22 p ;  p 8y z 6x 8y 22 p ; u z  p 6x28y2 z2 p   14. 所以 u  n p u uu11    coscoscos.  x  yz7  p 1 x y 22 例例 6 6（（E04E04））(1) 求grad. 222 (2) 设f (x, y,z)  x  y  z, 求gradf (1,1,2). 1 . x2 y2 f2x2yf 因为  2 , , 2 222 2 x(x  y )y(x  y )  2x2y1 所以g r a d 2  i j. x  y2(x2 y2)2(x2 y2)2 解解(1)(1)这里f (x, y)  (2)(2)gradf{f x , f y , f z} {2x,2y,2z},于是g r a d (1 f,1,2) {2,2,4}. 例例 7 7求函数u  x2 2y2 3z2 3x  2y在点(1,1,2)处的梯度, 并问在哪些点处梯度 为零? 解解由梯度计算公式得  uuu  i j k (2x 3)i  (4y  2) j  6zk,gradu(x,y,z) xyz  3 1 故gradu(1,1,2) 5i  2 j 12k.在P 0  , ,0 处梯度为0.  2 2  例例 8 8 （（E05E05）） 求函数u  xy  z  xyz在点P 0 (