高中数学导数知识点与习题内附答案

数学选修 2-2 导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 f (x 2 )  f (x 1 )f (x 1  x)  f (x 1 )yf  x 2  x 1 xxx 注 1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数 y  f (x)在x  x0处的瞬时变化率是lim f (x0x) f (x0)y ，则称  lim x0xx0 x 函数y  f (x)在点x 0 处可导， 并把这个极限叫做y  f (x)在x 0 处的导数， 记作 f (x 0 ) 或y | xx0 ，即 f (x 0 )=lim f (x0x) f (x0)y .  lim x0xx0 x 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答： 函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线 的斜率。 4 导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数导函数不定积分 y  c y 0———————— xn1 x dx  n1 n y  xnnN*  y  nxn1 y  ax a 0,a 1 y  a lna y  ex x ax a dx  lna x y  exe dx  e xx y  log a xa  0,a 1,x  0y  y  ln x y  sin x 1 xlna 1 y  x ———————— 1  x dx  ln x y  cos x y  sin x cosxdx  sin x y  cosxsin xdx  cosx 1 / 251 / 25 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若fx，gx均可导（可积），则有： 和差的导数运算 f (x) g(x)  f (x) g (x) f (x)g(x)  f (x)g(x) f (x)g (x) 积的导数运算 特别地： Cf x  Cf x  f (x)f (x)g(x) f (x)g (x) (g(x)  0)  g(x)   2  g(x) 商的导数运算  1  g (x) 特别地：   2gx  gx 复合函数的导数 微积分基本定理 y x  y u u x fxdx （其中F x fx） a b 和差的积分运算 b a [f 1(x) f2 (x)]dxf 1(x)dx f 2 (x)dx aa bb 特别地： 积分的区间可加性 b a kf(x)dx  kf (x)dx(k为常数) a b b a f (x)dx f (x)dxf (x)dx (其中a c b) ac cb 6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？ 答：①求函数 f(x)的导数f (x) ②令f (x)0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间. ③令f (x)0,则则 ln(1ln(1＋＋x)x) 17. (17. (本题满分本题满分 1414 分分) )已知函数已知函数 f(x)=4xf(x)=4x3 3+ax+ax2 2+bx+bx＋＋5 5 在在 x=x=－－1 1 与与 x=x= x ; ; 1x 3 处有极值。处有极值。 2 (1) (1)写出函数的解析式；写出函数的解析式； (2) (2)求出函数的单调区间；求出函数的单调区间； (3) (3)求求 f(x)f(x)在在[-1,2][-1,2]上的最值。上的最值。 18.18. ( (本题满分本题满分 1414 分分) ) 做一个圆柱形锅炉，容积为做一个圆柱形锅炉，容积为 V V，两个底面的材料每单位面，两个底面的材料每单位面 积的价格为积的价格为 2020 元，侧面的材料每单位面积价格为元，侧面的材料每单位面积价格为 1515 元，问锅炉的底面直径与元，问锅炉的底面直径与 高的比为多少时，造价最低？高的比为多少时，造价最低？ 19.19. ( (本题满分本题满分 1414 分分) )已知函数已知函数 f(x)=axf(x)=ax4 4＋＋bxbx3 3＋＋cxcx2 2＋＋dxdx＋＋e e 是偶函数，它的图象是偶函数，它的图象 过点过点 A(0,-1)A(0,-1)，且在，且在 x=1x=1 处的切线方程是处的切线方程是 2x+y2x+y－－2=0,2=0,求函数求函数 f(x)f(x)的表达式。的表达式。 20. (20. (本题满分本题满分 1414 分分) ) 如图，由如图，由 y=0y=0，，x=8x=8，，y=xy=x2 2围成的曲边三角形，在曲线弧围成的曲边三角形，在曲线弧 OBOB 上求一点上求一点 M M，使得过，使得过 M M 所作的所作的 y=xy=x2 2的切线的切线 PQPQ 与与 OAOA，，ABAB 围成的三角形围成的三角形 PQAPQA 面面 积最大。积最大。 B Q M 16 / 2516 / 25 o P A 高二数学理导数测试题 1 参考解答 一．BBDDD CDDA 二．1、y=3x-5 2、m7 3、4 -11 4、18,3 5、(,0) 6、 2 1 [0,][,)7、 8、,)(,1)(2,)  233  三 ． 1 ． 解 ： （ Ⅰ ） 由f (x)的 图 象 经 过 P （ 0 ， 2 ） ， 知 d=2 ， 所 以 f (x)  x3 bx2 cx  2, f (x)  3x2 2bx  c.由在M(1, f (1))处的切线方程是 6x  y  7  0知6 f (1)7  0,即f (1) 1, f (1)  6. 32bc  6, 2bc  3, 即解得b  c  3.故 所 求 的 解 析 式 是 1bc  2 1.bc  0, f (x)  x33x23x  2. （2）f (x)  3x26x 3.令3x2 6x 3  0,即x2 2x 1 0.解得 当x 1 12,x 2 12.当x 12,或x 12时, f (x)  0; 12  x 12时, f (x)  0.故f (x)  x33x23x  2在(,12)内是增函数， 在(12,12)内是减函数，在(12,)内是增函数. 2．（Ⅰ）解：f (x)  3ax2 2bx 3，依题意，f (1)  f (1)  0，即 3a  2b 3  0, 解得a 1, b  0.  3a  2b 3  0. ∴f (x)  x33x, f (x)  3x23