高中数学导数知识点与习题内附答案

数学选修 2-2 导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么 答平均变化率为 f x 2  f x 1 f x 1  x  f x 1 yf  x 2  x 1 xxx 注 1其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注 2函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么 答函数 y  f x在x  x0处的瞬时变化率是lim f x0x f x0y ，则称  lim x0xx0 x 函数y  f x在点x 0 处可导， 并把这个极限叫做y  f x在x 0 处的导数， 记作 f x 0 或y| xx0 ，即 f x 0 lim f x0x f x0y .  lim x0xx0 x 3.平均变化率和导数的几何意义是什么 答 函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线 的斜率。 4 导数的背景是什么 答（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些 函数导函数不定积分 y  c y0 xn1 x dx  n1 n y  xnnN*  y  nxn1 y  ax a 0,a 1 y  a lna y  ex x ax a dx  lna x y  exe dx  e xx y  log a xa  0,a 1,x  0y  y  ln x y  sin x 1 xlna 1 y  x 1  x dx  ln x y  cos x y  sin x cosxdx  sin x y  cosxsin xdx  cosx 1 / 251 / 25 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些 答若fx，gx均可导（可积），则有 和差的导数运算 f x gx  fx gx f xgx  fxgx f xgx 积的导数运算 特别地 Cf x Cf x  f xfxgx f xgx gx  0  gx   2  gx 商的导数运算  1  gx 特别地  2gx  gx 复合函数的导数 微积分基本定理 y x  y u u x fxdx （其中Fx fx） a b 和差的积分运算 b a [f 1x f2 x]dxf 1xdx f 2 xdx aa bb 特别地 积分的区间可加性 b a kfxdx  kf xdxk为常数 a b b a f xdx f xdxf xdx 其中a c b ac cb 6.用导数求函数单调区间的步骤是什么 答①求函数 fx的导数f x ②令f x0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间. ③令f x0,则则 ln1ln1＋＋xx 17. 17. 本题满分本题满分 1414 分分 已知函数已知函数 fx4xfx4x3 3axax2 2bxbx＋＋5 5 在在 xx－－1 1 与与 xx x ; ; 1x 3 处有极值。处有极值。 2 1 1写出函数的解析式；写出函数的解析式； 2 2求出函数的单调区间；求出函数的单调区间； 3 3求求 fxfx在在[-1,2][-1,2]上的最值。上的最值。 18.18. 本题满分本题满分 1414 分分 做一个圆柱形锅炉，容积为做一个圆柱形锅炉，容积为 V V，两个底面的材料每单位面，两个底面的材料每单位面 积的价格为积的价格为 2020 元，侧面的材料每单位面积价格为元，侧面的材料每单位面积价格为 1515 元，问锅炉的底面直径与元，问锅炉的底面直径与 高的比为多少时，造价最低高的比为多少时，造价最低 19.19. 本题满分本题满分 1414 分分 已知函数已知函数 fxaxfxax4 4＋＋bxbx3 3＋＋cxcx2 2＋＋dxdx＋＋e e 是偶函数，它的图象是偶函数，它的图象 过点过点 A0,-1A0,-1，且在，且在 x1x1 处的切线方程是处的切线方程是 2xy2xy－－20,20,求函数求函数 fxfx的表达式。的表达式。 20. 20. 本题满分本题满分 1414 分分 如图，由如图，由 y0y0，，x8x8，，yxyx2 2围成的曲边三角形，在曲线弧围成的曲边三角形，在曲线弧 OBOB 上求一点上求一点 M M，使得过，使得过 M M 所作的所作的 yxyx2 2的切线的切线 PQPQ 与与 OAOA，，ABAB 围成的三角形围成的三角形 PQAPQA 面面 积最大。积最大。 B Q M 16 / 2516 / 25 o P A 高二数学理导数测试题 1 参考解答 一．BBDDD CDDA 二．1、y3x-5 2、m7 3、4 -11 4、18,3 5、,0 6、 2 1 [0,][,7、 8、,,12,  233  三 ． 1 ． 解 （ Ⅰ ） 由f x的 图 象 经 过 P （ 0 ， 2 ） ， 知 d2 ， 所 以 f x  x3 bx2 cx  2, f x  3x2 2bx  c.由在M1, f 1处的切线方程是 6x  y  7  0知6 f 17  0,即f 1 1, f 1  6. 32bc  6, 2bc  3, 即解得b  c  3.故 所 求 的 解 析 式 是 1bc  2 1.bc  0, f x  x33x23x  2. （2）f x  3x26x 3.令3x2 6x 3  0,即x2 2x 1 0.解得 当x 1 12,x 2 12.当x 12,或x 12时, f x  0; 12  x 12时, f x  0.故f x  x33x23x  2在,12内是增函数， 在12,12内是减函数，在12,内是增函数. 2．（Ⅰ）解f x  3ax2 2bx 3，依题意，f 1  f 1  0，即 3a  2b 3  0, 解得a 1, b  0.  3a  2b 3  0. ∴f x  x33x, f x  3x23