高中数学教学设计：等比数列的前n项和

等比数列的前等比数列的前 n n 项和（第一课时）项和（第一课时） 教材：人民教育出版社全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上） 一、教材分析 从教材的编写顺序上来看，等比数列的前 n 项和是第三章“数列”第五节的内容，一方 面它是“等差数列的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有 着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备. 就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在 公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另 外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到. 就内容的人文价值上来看， 等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观察、 分析、 归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好 载体． 教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间 2 课时，本节课作为第 一课时，重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导 过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系. 二、教学目标二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下： 知识与技能目标：理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n 项和 公式并能运用公式解决一些简单问题． 过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决 问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想 及转化思想，优化思维品质． 情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇 于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称 美、形式的简洁美、数学的严谨美． 三、教学重点和难点 重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习 提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培 养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力. 突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式 运用； （二） 过程与方法线:特殊到一般、 猜想归纳→ 错位相减法等→转化、 方程思想； （三） 能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度. 第1页共5页 难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数 学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等 差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的 概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位 相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物. 突破难点手段： “抓两点， 破难点” ,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣， 鼓励学生大胆猜想、 积极探索， 及时地给以鼓励， 使他们知难而进； 二抓知识选择的切入点， 从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 四、教学方法 利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式. 五、教学过程 教学过程 【漫画演示】 话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接 下了高老庄集团，摇身变成了 CEO．可好景不长，便因资金 周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟 空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资 100 万元，连续一 个月（30 天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第 一天起你必须返还给我 1 元， 第二天返还 2 元， 第三天返还 4 元……即后一天返还数为前一天的 2 倍．”八戒听了，心里打 起了小算盘：“第一天：支出 1 元，收入 100 万；第二天：支 出 2 元， 收入 100 万， 第三天： 支出 4 元， 收入 100 万元； …… 哇，发财了……” 心里越想越美……再看看悟空的表情，心 里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？” 【教师提问】 (1)假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析 一下， 按照悟空的投资方式， 30 天后， 八戒能吸纳多少投资？ 又该返还给悟空多少钱？ (2)S 30 1 2  22 23  229(观察数字特征，引出课 题) 探 领悟数学应 1.学生自主探究：S 30 1 2  2  2   2 用价值 2.解决情境问题 从特殊到一3.师生共同探讨 一般等比数列前 n 项和： Sn a1a2a3  an1an ? 般,从模仿 即S n  a1 a1q  a1q2 a1qn2 a1qn1 ? 到创新，有 利于学生的 方法 1：错位相减法 知识迁移和 2329 设计意图 创 设 情 境 依托市场经 济背景，运 用学生熟悉 的人物编拟 故事，以趣 引思,激发 学生学习热 情. 第2页共5页 究 问 题 辨 析 质 疑 能力提高． 通过学生个 (1 q)S n  a 1  a 1q n 别学习，互 a1(1 qn) 相讨论，揭 q 1  1 q Sn示知识的内 na q 1 在联系. 通   1 过生生、师 方法 2：提取公比 q 生 间 的 探 Sn a1 a1q  a1q2 a1qn2 a1qn1 讨、合作， n2  a1 q（a1 a1q  a1q） 培养学生的 n1  a1 q（Sn a1q） 洞察力．增 (1 q)Sn a1 a1qn强学生思维 的严谨性. 方法 3：利用等比定理 通过实物展 anaa2a  q 3  4  a3a1a2an1示学生解决 a2 a3 anS a1问 题 的 方  q  n (1q)Sn a1anq Sn an a1 a2 an1法，破除思 维定势. …… 1．口答： 在公比为 q 的等比数列{a n }中 (1)若a 1  2,q1，则S n ________ 33 （2）若a 11,q1，则 S n ________ 剖析公式中 2．判断是非： 的基本量及 n n1 1(12 ) ①12 48 (2)  （） 结构特征， 12 n识记公式. 23n 1(12 ) ②1 2 2  2   2  （） 2n2  a1qn1 Sn  a1 a1q  a1q a1q  23n1  a1qn qSn  a1q  a1q a1q  a1q 12 ③若c  0且c 1，则 c c c  c 2462n  c2[1 (c2)n] 1 c2 （） 3．对公式的再认识． (1)、对公比 q 的分类讨论 (2)、公式中 n 的理解 巩 固 例 1．已知{a n }是等比数列，请完成下表