随机过程-习题-

| . 设 有 n 维 随 机 矢 量  ( 1 2  n )服 从 正 态 分 布 ， 各 分 量 的 均 值 为 Ei a,i 1,2,,n，其协方差矩阵为 2   B        a 2 0 a 2 2 0 0 a 2 2 0   0   0     2     试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 [](t1,t2,,tn)  exp{jttBt} Ei a,i 1,2,,nt  (t1,t2,,tn)，则 1 2 jt jati i1 n tBt  t1 2  t1a 2  t2 2 t2a 2  t3 2 tn 2  (t ,t 12 ,,tn )  =t122 t1t 2a 2  t22 2  t2t3a 2  t32 2  tn2 2 = i1 n ti2 2 titi1a 2 i1 n1 1 22 1 n1 [](t1,t2,,tn)  exp[( jatiti)]exp[titi1a 2] 22 i1i1  n  . . 设n维正 态分 布随 机矢 量T (12n)各分量的均 值为E i i， i 1,2,3,n，各分量间的协方差为 bm,i n|m  i|, n m,i 1,2,3,n 设有随机变量i，求的特征函数。 i1 [ [ 1  解：解：易得：[1 1  1] 2     n E[]E[i]i  i1i1 nn n(n 1) 2  1 2   3   n  n 1n  2  n  n 1nn 1  协方差矩阵为：B B  n  2 n 1n     23  1 n3 n2 所以D[1 1  1] B B [1 1  1]= 2 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以的特征函数 为：  n6 2n5 n4 2   n(n 1)   (t)  exp jt t  28  设有三维正态分布随机矢量T (1 2 3)，其各分量的均值为零，即E[ i ]  0 (i 1, 2,3)，其协方差矩阵为 b 11 b12b13  B b21b22b23 b  31 b32b33  { 其中，b11 b22 b33 2，试求： （1）E1 23  22 3（2）E12 2  22)(22)(22)] （3）E[(1 23 解： （1） 由教材P 467 页可看出 t1,t2,t3 u i t1,t2,t3 ti i 1,2,3 2t1,t2,t3 b ij t1,t2,t3 uiu j t1,t2,t3 tit j & i, j 1,2,3且i  j， 3t1,t2,t3 b12u3t1,t2,t3 b13u2t1,t2,t3 b23u1t1,t2,t3u1u2u3t1,t2,t3 t1t2t3 b12u3 b13u2 b23u1u1u2u3t1,t2,t3 其中：t1,t 2 ,t3为零均值的三元正态分布随机变量1, 2 ,3的特征函数 3 1 t1,t2,t3 exptkuk   2 k1   uk  bkiti i1 3 令t1 t 2  t3 0，则0,0,01,uk 0, k 1,2,3，所以 E123 j 33t1,t2,t3 t1t2t3 t1t2t30 0 （2）设N b 12u3  b13u2 b23u1 u1u2u3，则 3t1,t2,t3 N t1,t2,t3 t1t2t3 《 3N b11b22b33 b11b232 b122b33 b132b22 2b12b13b23 t1t2t3 N  2b12b13 b23b11b11u2u3b12u1u3b13u1u2 t1 N  2b12b23 b13b22b12u2u3b22u1u3b23u1u2 t2 N  2b12b33 b12b33b13u2u3b23u1u3b33u1u2 t3 6t1,t2,t3 222 t1t2t3 t1t2t30 3Nt1,t2,t3  t1t2t3 t1t2t30 222 3N    t ,t ,t  t ,t ,t t1,t2,t3NNN 123123 t t t 0 t1,t2,t3 123 t 1t2t3 t1t2t3t1t3t2t2t3t1   b11b22b33 4b12b13b23 22 E1223   j 66t1,t2,t3 222 t1t2t3 t1t2t30  j 6 b11b22b33 4b12b13b23 (3) 4t1,t2 22 t1t2 22222 2  b 11b22 b 12  b 11u2 b 12u1u2  b 12 2b 12u1u2 u1b22 u1u2b 12u1u2 t1,t2  2 b 12 u1u2t1,t2 t1t2     4t1,t3 22 t1t3 222222  b11b33b13 b11u3b13u1u3 b132b13u1u3u1b33 u1u3b13u1u3t1,t3  2 b 13 u1u3t1,t3 t1t3     4t2,t3 22 t2t3 222222  b22b33 b23 b22u3 b23u2u3 b23 2b23u2u3u2b33 u2u3b23u2u3t2,t3  2 b 23  u2u3t2,t3 t2t3     2 E122   4t1,t2 22 t1t2 t1t20 2 b11b22 2b12 2 E123   4t1,t3 22 t1t3 t1t30 2 b11b33 2b13 ， t2t30 2 b22b33 2b23 22 E23   4t2,t3 22 t2t3   E