薛定谔方程与提出背景

薛定谔方程薛定谔方程 在一维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 ；(1) 其中， 是质量， 是位置， 是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克常数， 是位势。 类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 。(2) 假若，系统有 个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用 方程表达， 。 其中，波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以，第 个粒子的位置是 。 不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程 不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程定态薛定谔方程。顾 名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。 应用分离变量法，猜想 的函数形式为 ； 其中， 是分离常数， 是对应于 的函数．稍回儿，我们会察觉 就是能量． 代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程： 。 类似地，方程 (2) 变为 。 历史背景与发展历史背景与发展 爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一 种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之 间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。 1924 年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也 有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量决定了它的 物质波的频率 与波数。1927 年，克林顿·戴维和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。 然后，测量反射的强度，侦测结果与 X 射线根据布拉格定律 (Bragg s law) 计算的衍 射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。 薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这 特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方 程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐 蔽地暗藏于一个察觉里。 这察觉就是， 在零波长极限， 实际光学系统趋向几何光学系统； 也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零 波长极限， 波传播会变为明确的运动。 可是， 他并没有设计出一个方程来描述这波行为。 这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应 于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用 自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。 但是，薛定谔对这结果并不满足，因为， 索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精 细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相 对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势的量子行为。薛 定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然 如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表 相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926 年， 正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。 薛定谔方程漂亮地解释了 的行为，但并没有解释 的意义。薛定谔曾尝试解释 代表电 荷的密度，但却失败了。 1926 年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天， 马克斯·玻 恩提出概率幅的概念，成功地解释了 的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这种 统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子 力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最 后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信，薛定谔清楚地表明了这看法。 含时薛定谔方程导引含时薛定谔方程导引 启发式导引启发式导引 含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设： 假设假设 (1) 一个粒子的总能量 可以经典地表达为动能 与势能 的和： ； 其中， 是动量， 是质量。 特别注意，能量 与动量 也出现于以下两个关系方程。 (2) 1905 年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 与对应的电磁波的频率 成 正比： 其中， 是普朗克常数， 是角频率。 (3) 1924 年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可 以用一个波函数 来表达。粒子的动量 与伴随的波函数的波长 有关： ； 其中， 是波数。 用矢量表达， 。 波函数以复值平面波来表达波函数波函数以复值平面波来表达波函数 1925 年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示： 。 他想到 ， 因此 。 并且相同地由于 ， 因此得到 。 再由经典力学的公式，一个粒子的总能为 ，质量为 ，在势能 处移动： 。 薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程： 。 薛定谔的导引 思考一个粒子，运动于一个保守的位势 。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程 ； 其中， 是哈密顿主函数。 由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分： ； 其中，不相依于时间的函数 是哈密顿特征函数， 是能量。 将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到 ； 哈密顿主函数随时间的全导数是 。 思考哈密顿主函数 的一个常数的等值曲面 。这常数的等值曲面 在空间移动的方程为 。 所以，在设定等值曲面的正负面后， 朝着法线方向移动的速度 是 。 这速度 是相速度，而不是粒子的移动速度 ： 。 我们可以想像 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与 成比例的波函数： ； 其中， 是常数， 是相依于位置的系数函数。 将哈密顿主函数的公式代入 波函数，成为 。 注意到 的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论 ；其中， 是约 化普朗克常数， 是角频率。设定 ，粒子的波函数 变为 ； 其中， 。 的波动方程为 。 将 波函数代入波动方程，经过一番运算，得到 。 注意到 。稍加编排，可以导引出薛定谔方程： 。 特性特性 线性方程线性方程 态叠加原理 薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若 与 是某薛 定谔方程的解。设定 ， 其中， 与 是任何常数。 则 也是一个解。 证明证明 根据不含时薛定谔方程 (1) ， ， 。 线性组合这两个方程的解， 。 所以， 也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。 类似地， 我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。 实值的本征态实值的本征态 不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同 的意义。假若两个波函数 与 都是某不含时薛定谔方程的，能量为 的解答，则这两个 不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为 的解答。 。 对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数 是某薛定谔方程的解答，则其共轭 函数 也是这薛定谔方程的解答。所以， 的实值部分或虚值部分，都分别是解答。我们 只需要专