级数和序列的基本性质

第四章 级数 第一节级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：z 1  a 1 ib 1,z2  a 2 ib 2 ,.,z n  a n ib n ,.在这里，zn是 复数，Rez n  a n ,Imz n  b n ,一般简单记为{z n} 。按照{| z n |}是有界或无界 序列，我们也称{z n} 为有界或无界序列。 设z0是一个复常数。如果任给  0，可以找到一个正数N，使得 当 nN 时 | z n  z 0 |, 那么我们说{zn}收敛或有极限z0，或者说{zn}是收敛序列，并且收敛 于z0，记作 n lim z n  z 0 。 如果序列{zn}不收敛，则称{zn}发散，或者说它是发散序列。 令z0 a ib，其中 a 和 b 是实数。由不等式 | an a |及|bnb|| zn z0|| an a |  |bnb| 容易看出，lim z n  z 0 等价于下列两极限式： n n lim a n  a, lim b n b, n 因此，有下面的注解： 注解 1、序列{zn}收敛（于z0）的必要与充分条件是：序列{an}收 敛（于 a）以及序列{bn}收敛（于 b） 。 注解 2、 复数序列也可以解释为复平面上的点列， 于是点列{zn}收 敛于z0，或者说有极限点z0的定义用几何语言可以叙述为： 任给z0的 1 一个邻域，相应地可以找到一个正整数 N，使得当 nN 时，zn在这 个邻域内。 注解 3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个 收敛复数序列的和、 差、 积、 商仍收敛， 并且其极限是相应极限的和、 差积、商。 复数项级数就是z1 z2. zn.或记为 z n ，或  z n ，其中zn是 n1  复数。定义其部分和序列为：  n  z1 z2. zn 如果序列{ n} 收敛， 那么我们说级数  z n 收敛； 如果{ n} 的极限是， 那么说  z n 的和是，或者说  z n 收敛于，记作 z n  ，如果序列 n1  {n}发散，那么我们说级数  z n 发散。 注解 1、对于一个复数序列{zn}，我们可以作一个复数项级数如 下 z1 (z2 z1)(z3z2). (zn zn1). 则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。  0,N  0, 注解 2、 级数  z n 收敛于的  N定义可以叙述为： 使得当n  N时，有 | zk|。 k1 n 注解 3、如果级数  z n 收敛，那么 lim zn lim ( n  n1)  0 。 nn 注解 4、令 an Rezn,an Rezn,bn Imzn,a  Re,b  Im ，我们有 2  n  aki bk。 k1k1 nn 因此，级数  z n 收敛（于）的必要与充分条件是： 级数 a n 收敛（于 a）以及级数 b n 收敛（于 b） 。 注解 5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广 到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理： 柯西收敛原理（复数项级数） ：级数 z n 收敛必要与充分条件是： 任给  0，可以找到一个正整数 N，使得当 nN，p=1,2,3,…时， | zn1 zn2. znp| 柯西收敛原理（复数序列） ：序列{zn}收敛必要与充分条件是：任给  0，可以找到一个正整数 N，使得当 m 及 nN， | z n  z m | 对于复数项级数  z n ，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数 | z1|| z2|.| zn|. 收敛，我们称级数  z n 绝对收敛。 注解 1、 级数  z n 绝对收敛必要与充分条件是： 级数 a n 以及 b n 绝对收敛：事实上，有 k1 22 | a k |及 |bk| | znk |   akbk k1k1k1 nnnn  | ak| |bk|, k1k1 n 注解 2、若级数  z n 绝对收敛，则  z n 一定收敛。 例、当| |1时，1 2 . n .绝对收敛；并且有 1n1 1., limn1 0。 1 n 2n 3 我们有，当| |1时，12.n. 1 . 1 如果复数项级数  z n 及  z n“ 绝对收敛，并且它们的和分别为  ,“，那么级数  n1 (z 1zn z2zn1. znz1) “ “ “ 也绝对收敛，并且它的和为 “。 2、复变函数项级数和复变函数序列： 设{f n (z)}(n 1,2,.)在复平面点集E上有定义，那么： f 1(z) f2 (z). f n (z). 是定义在点集E上的复变函数项级数，记为f n (z)，或f n (z)。设函数f(z) n1  在E上有定义，如果在E上每一点z，级数f n (z)都收敛于f(z)，那么我们说 此级数在E上收敛（于f(z)） ，或者此级数在E上有和函数f(z)，记作   f n1 n (z)  f (z), 设 f 1(z), f2 (z),., f n (z),. 是E上的复变函数列，记作{f n (z)} n1 或{f n (z)}。设函数(z)在E上有定义，如 果在E上每一点z，序列{f n (z)}都收敛（于(z)） ，那么我们说此序列在E上收 敛（于(z)） ，或者此序列在E上有极限函数(z)，记作 n lim f n (z) (z), 注解 1、复变函数项级数f n (z)收敛于f(z)的 N定义可以叙述为：  0,N  0,使得当n  N时,有 |f k (z) f (z)|. k1 n 注解 2、复变函数序列{f n (z)}收敛于(z)的 N定义可以叙述为： 4  0,N  0,使得当n  N时,有 | f n (z)(z)|. 如果任给 0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数N  N()， 使得当n  N,zE时，有 |  fk(z) f (z)|或| fn(z)(z) |。 k1 n 那么我们说级数f n (z)或序列{f n (z)}在E上一致收敛（于f(z)或(z)） 。 注解 1、 和实变函数项级数和序列一样， 我们也有相应的柯西一致收敛原理： 柯西一致收敛原理 （复变函数项级数） ： 复变函数项级数f n (z)在E上一致收敛 必要与充分条件是：任给 0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整 数N  N()，使得当n  N,zE，p=1,2,3,…时，有 | f n1(z) fn2 (z). f np (z)|. 柯西一致收敛原理（复变函数序列） ：