级数和序列的基本性质

第四章 级数 第一节级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列 复数序列就是z 1  a 1 ib 1,z2  a 2 ib 2 ,.,z n  a n ib n ,.在这里，zn是 复数，Rez n  a n ,Imz n  b n ,一般简单记为{z n} 。按照{| z n |}是有界或无界 序列，我们也称{z n} 为有界或无界序列。 设z0是一个复常数。如果任给  0，可以找到一个正数N，使得 当 nN 时 | z n  z 0 |, 那么我们说{zn}收敛或有极限z0，或者说{zn}是收敛序列，并且收敛 于z0，记作 n lim z n  z 0 。 如果序列{zn}不收敛，则称{zn}发散，或者说它是发散序列。 令z0 a ib，其中 a 和 b 是实数。由不等式 | an a |及|bnb|| zn z0|| an a |  |bnb| 容易看出，lim z n  z 0 等价于下列两极限式 n n lim a n  a, lim b n b, n 因此，有下面的注解 注解 1、序列{zn}收敛（于z0）的必要与充分条件是序列{an}收 敛（于 a）以及序列{bn}收敛（于 b） 。 注解 2、 复数序列也可以解释为复平面上的点列， 于是点列{zn}收 敛于z0，或者说有极限点z0的定义用几何语言可以叙述为 任给z0的 1 一个邻域，相应地可以找到一个正整数 N，使得当 nN 时，zn在这 个邻域内。 注解 3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个 收敛复数序列的和、 差、 积、 商仍收敛， 并且其极限是相应极限的和、 差积、商。 复数项级数就是z1 z2. zn.或记为 z n ，或  z n ，其中zn是 n1  复数。定义其部分和序列为  n  z1 z2. zn 如果序列{ n} 收敛， 那么我们说级数  z n 收敛； 如果{ n} 的极限是， 那么说  z n 的和是，或者说  z n 收敛于，记作 z n  ，如果序列 n1  {n}发散，那么我们说级数  z n 发散。 注解 1、对于一个复数序列{zn}，我们可以作一个复数项级数如 下 z1 z2 z1z3z2. zn zn1. 则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。  0,N  0, 注解 2、 级数  z n 收敛于的  N定义可以叙述为 使得当n  N时，有 | zk|。 k1 n 注解 3、如果级数  z n 收敛，那么 lim zn lim  n  n1  0 。 nn 注解 4、令 an Rezn,an Rezn,bn Imzn,a  Re,b  Im ，我们有 2  n  aki bk。 k1k1 nn 因此，级数  z n 收敛（于）的必要与充分条件是 级数 a n 收敛（于 a）以及级数 b n 收敛（于 b） 。 注解 5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广 到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理 柯西收敛原理（复数项级数） 级数 z n 收敛必要与充分条件是 任给  0，可以找到一个正整数 N，使得当 nN，p1,2,3,时， | zn1 zn2. znp| 柯西收敛原理（复数序列） 序列{zn}收敛必要与充分条件是任给  0，可以找到一个正整数 N，使得当 m 及 nN， | z n  z m | 对于复数项级数  z n ，我们也引入绝对收敛的概念如果级数 | z1|| z2|.| zn|. 收敛，我们称级数  z n 绝对收敛。 注解 1、 级数  z n 绝对收敛必要与充分条件是 级数 a n 以及 b n 绝对收敛事实上，有 k1 22 | a k |及 |bk| | znk |   akbk k1k1k1 nnnn  | ak| |bk|, k1k1 n 注解 2、若级数  z n 绝对收敛，则  z n 一定收敛。 例、当| |1时，1 2 . n .绝对收敛；并且有 1n1 1., limn1 0。 1 n 2n 3 我们有，当| |1时，12.n. 1 . 1 如果复数项级数  z n 及  z n“ 绝对收敛，并且它们的和分别为 ,“，那么级数  n1 z 1zn z2zn1. znz1 “““ 也绝对收敛，并且它的和为“。 2、复变函数项级数和复变函数序列 设{f n z}n 1,2,.在复平面点集E上有定义，那么 f 1z f2 z. f n z. 是定义在点集E上的复变函数项级数，记为f n z，或f n z。设函数fz n1  在E上有定义，如果在E上每一点z，级数f n z都收敛于fz，那么我们说 此级数在E上收敛（于fz） ，或者此级数在E上有和函数fz，记作   f n1 n z  f z, 设 f 1z, f2 z,., f n z,. 是E上的复变函数列，记作{f n z} n1 或{f n z}。设函数z在E上有定义，如 果在E上每一点z，序列{f n z}都收敛（于z） ，那么我们说此序列在E上收 敛（于z） ，或者此序列在E上有极限函数z，记作 n lim f n z z, 注解 1、复变函数项级数f n z收敛于fz的 N定义可以叙述为  0,N  0,使得当n  N时,有 |f k z f z|. k1 n 注解 2、复变函数序列{f n z}收敛于z的 N定义可以叙述为 4  0,N  0,使得当n  N时,有 | f n zz|. 如果任给 0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数N  N， 使得当n  N,zE时，有 |  fkz f z|或| fnzz |。 k1 n 那么我们说级数f n z或序列{f n z}在E上一致收敛（于fz或z） 。 注解 1、 和实变函数项级数和序列一样， 我们也有相应的柯西一致收敛原理 柯西一致收敛原理 （复变函数项级数） 复变函数项级数f n z在E上一致收敛 必要与充分条件是任给 0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整 数N  N，使得当n  N,zE，p1,2,3,时，有 | f n1z fn2 z. f np z|. 柯西一致收敛原理（复变函数序列）