立体几何中的翻折问题

第三讲立体几何中的翻折问题 翻折问题包含折叠与展开两个重要问题， 这两种方式的转变正是空间几何与平面几何 问题转化的集中体现. 翻折问题是立体几何的一类典型问题， 是实践能力与创新能力考查的 好素材. 解答翻折问题的关键在于翻折前后的平面图形与立体图形，哪些发生了变化，哪些 没有发生变化. 这些未变化的已知条件，往往就是我们分析问题和解决问题的依据. 例 1（1）把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积 最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为_____． （2）如图所示，已知正方形纸片 ABCD，M、N 分别是 AD、BC 的中点，把 BC 边向上翻折， 使点 C 恰好落在 MN 上的 P 点处，BQ 为折痕，则PBQ . A M P D Q B N C 例 2（1） 已知三棱锥A BCD的底面是等边三角形， 三条侧棱长都等于 1， 且BAC  动点 M，N 分别在棱 AC，AD 上运动，则△BMN周长最小值为.  6 ， A N BM C D (2) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB  900，AC  6， BC CC 1 2，P 是 BC1上一动点，则CP PA 1的最小值为_______. 0 （3） 二面角l 的大小为120，A，B， 且A、B两点在l上的射影分别A、 B，其中BB 1，AA  2，AB  3，点C是l上任一点，则AC  BC的最小值为. 例 3（1）矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，将DEF沿FD翻折，翻折后的点 E 恰与 BC 上的点 P 重合．设AB1，FA  x（x 1） ，AD= y，则当x 时，y有最小值． FE A D B P C （2） 如图所示， 将正方形纸片 ABCD 翻折， 使点 B 落在 CD 边上点 E 处 （不与 C， D 重合） ， 压平后得到折痕 MN. 设 CE1AM  ，则.（用含 n 的式子表示） CDnBN A A MM F F D D E E B B N N C C 例 4（1）四边形ABCD 中，AD//BC，AD= AB，BCD  450，BAD  900，将△ABD 沿对角线 BD 折起，记折起后点 A 的位置为 P，且使平面 PBD⊥平面 BCD. ①求证：平面 PBC⊥平面 PDC；②求折叠后二面角P-BC-D 的平面角的正切值. AD BC 变式【2009 浙江理 17】 A D B C 如图，在长方形ABCD中，AB  2，BC 1，E为DC的中点，F为线段EC（端点 除外）上一动点．现将AFD沿AF折起，使平面ABD 平面ABC．在平面ABD内过 点D作DK  AB，K为垂足．设AK  t，则t的取值范围是. 第四讲圆锥曲线定义与几何性质第四讲圆锥曲线定义与几何性质 1.椭圆 （1）概念：在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 （2）椭圆的标准方程和几何性质 x2y2y2x2 ＋＝1＋＝1 a2b2a2b2标准方程 (ab0)(ab0) 图形 －a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称轴：坐标轴对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b,0)，B2(b,0) 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b |F1F2|＝2c c e＝ ∈(0,1) a c2＝a2－b2 范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 abc 关系 2．双曲线 （1）概念：平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a0，b0)－＝1(a0，b0) a2b2a2b2 图形 x≥a 或 x≤－a，y∈R Rx∈R R，y≤－a 或 y≥a 对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴 对称中心：原点对称中心：原点 顶点坐标：顶点坐标： A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) ba y＝± xy＝± x ab c e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 a 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫 做双曲线的虚轴， 它的长|B1B2|＝2b； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 c2＝a2＋b2 (ca0，cb0) 范围 对称性 顶点 性质 渐近线 离心率 实虚轴 a、b、c 的关系 3．抛物线 （1）概念：平面内与一个定点F 和一条定直线 l(F l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点 F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． （2）抛物线的标准方程与几何性质 y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py (p0)(p0)(p0)(p0)标准方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 y＝0 p F( ，0) 2 p x＝－2 x≥0， y∈R R 向右 p F(－ ，0) 2 e＝1 p x＝2 x≤0， y∈R R 向左 p y＝－2 y≥0， x∈R R 向上 p y＝2 y≤0， x∈R R 向下 p F(0， ) 2 O(0,0) x＝0 p F(0，－ ) 2 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 x2y2 例 1.已知 F1、F2为椭圆＋ ＝1 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点． 259 若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________. x2y2 变式 1 如图，把椭圆1的长轴AB分成8等份，过每个分 2516 点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P2 ,P 3,P4 ,P 5 ,P 6 ,P 7 七个点， F是椭圆的一个焦点，则PF___________. P 2F   P 17F  x2  y21的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF1|· 变式 2 已知 F1，F2是椭圆|PF2|取最 4 大值时的点 P 坐标为___________. 变式 3 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值1， 则椭圆长轴长的最小值 为___________. x2y2 1右支上的一点，F1，F2分别为左右焦点. 例 2.P 是双曲线C : 412 （1）双曲线渐近线方程为___________. （2）与曲线 C 渐近线相同且经过点 2,4 3 的双曲线方程为___________. （3）焦半径PF 1 的取值范围为，焦半径PF 2 的取值范围为___________. （4）△PF 1F2 的内切圆的圆心的横坐标为___________. P F2F1 例 3. 【2015·浙江卷】如图所示，设抛物线y2＝4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个 不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之 比是()  |BF|－1 A.|AF|－1 |BF|2－1 B.|AF|2－1 |BF|＋1 C.|AF|＋1