球与空间几何体

球球与与空空间间几几何何体体( (总总 6 6 页页) ) 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 球与空间几何体 考点一：球的内接柱体 设柱体上底的外心为O 1 ，下底的外心为O2，则有柱体的外接球球心O为O 1O2 的中点。若 h2 柱体底面外接圆半径为r，高为h，则外接球半径R满足：R  r ； 2 22 由已学知识可总结出： （1）边长为a的正三角形的外接圆半径r  3 a； 3 a2b2 （2）长为a，宽为b的的矩形的外接圆半径r  2 （3）斜边为c的直角三角形的外接圆半径r  c 2 注：球的内接长方体满足：球的直径于长方体的大对角线相等 考点二：球的内接椎体 1.球的内接直三棱锥，直四棱锥（有一条侧棱与底面垂直）：与长方体相同，是长方体的 部分顶点构成的椎体 2.球的内接正三棱锥，正四棱锥： 设顶点为P，底面外接圆圆心O 1 ，则有正棱锥外接球球心在PO 1 上，若正棱锥底面外接 l2 圆半径为r，高为h，则外接球半径R满足：R  r (h R)或R （l为侧棱） 2h 222 考点三：多面体的内切球 1 多边形内切圆圆心把多边形分成多个高相等的三角形，由面积法可知 多边形的内切圆半径r满足：r  2S （S为多边形面积，P为多边形周长） P 3V （V为多面体体积，S为多面体表面积） S 2 多面体内切球球心把多面体分成多个高相等的椎体，由体积法可知 多面体的内切求半径r满足：r  考点四：圆锥内切球与外接球 2 1 圆锥的外接球：与正棱锥的外接球相同 2 圆锥的内切球：圆锥的内切球半径即为圆锥截面三角形的内切圆半径，设圆锥的底面半 径为r，高为h，则内切球半径R满足：R  r  2Srh  R  22P2r 2 r h 小结： h2 1 球的内接柱体，直椎体：R  r  2 22 l2 2 球的内接正棱锥，内接圆锥：R （l为侧棱） 2h 3 多面体的内切球：R  4 圆锥的内切球：R  3V S rh 222 r h 2r 典型例题 例 1 一个球的外切正方体的全面积为6，则球的体积为（） A 664 B C D 8636 答案:C 解析:多面体的内切球，所以球的半径R  3V ，正方体的棱长为 1，则V 1，所以 S R  3141  ，所以球的体积为 ( )3 ，故选 C 62326 例 2 某长方体的三视图的面积分别为20，15，12，求该长方体的外接球的表面积 答案： 50 3 ac  20 a  4  解析：设长方体的三边分别为a,b,c，则有bc 15 b  3，所以外接球半径为： ab 12c  5  5 2 2 a2b2c25 2 )  50 ，所以S  4(R  222 例 3 某圆锥的截面为边长为2 的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______ 答案： 3 3 解析：边长为 2 的正三角形的内切圆半径为r  2S2 33  ，则内球球的半径也为 P63 3 3 例 4 一三棱锥P ABC，PA,PB,PC两两垂直，且PA 1,PB  3,PC  3，则该三 棱锥外接球的表面积是（） A16 B64 C 答案：A 解析：易知，P,A,B,C是长方体中相邻四个顶点构成的棱锥，所以外接球半径： 32252  D  33 R  169  2，所以S  44 16，选 A 2 例 5 一底面半径为r，母线长为3r的圆锥有一内接正方体，求该正方体的表面积 答案： 16 2r 解析：由题知，圆锥的高为2 2r，设正方体的棱长为a，可知： 3 r  2 a 2  a ，所以： r2 2r 4 2 2r 2a  a  a  2 216 r，所以，正方体的表面积为：6a2r2 33 例 6 若半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积之比为（） A5:12 B5:6 C2:3 D3:4 答案：D 解析：设半球的半径为 R，正方体的棱长为a，则有R  ( 面积：S1 2 2 2 3 a) a2a2，半球的表 22 1 4R2R2 3R2，正方体的表面积S 2  6a2，所以： 2 S 1 3R  2S 2 6a 2 a2  3 2 2a2 3 ，故选 D 4 例 7 某圆柱的底面半径为2，里面有一定的水，现把圆柱横着放，水面的高度变为1，求 圆柱里的水的体积与圆柱的体积比 4 3 答案： 3 4 解析：已知横着放时，底面是一个弓形，所以S  1 43，所以体积比为： 3 4 3 3 4 例 8 正四面体外接球与内切球的半径之比为_______ 答案：3 解析：设正四面体半径为a，则底面积为 63 2a ，所以内切球半径 a ，高为 34 5 36 3a 223V6la6 R 1  43 2 a，外接球半径R 2 a，所以： S122h2 643a a 3 R 2 :R 1  66 a:a  3 412 练习 1 已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为 18，则多面体的体积为（） A 18 B 12 C 6 D 12 答案： C 解析：cos 44332 ，所以 cos()  cos；cos cos()  cos 555555 3VRS18 V  6，选 C S33 内切球半径满足R  2 用与球心距离为 1 的平面去截球面，所得截面积为，则球的体积为________ 答案： 8 2  3 解析：截面半径为 1，所以球的半径R  2，球的体积为 48 2 2 2  33 3. 64 个直径都是 a 的球，记它的体积为V 1 ，表面积之和为S1，1 个直径都是a的球，记 4 它的体积为V2，表面积之和为S2，则（） A V 1 V 2,S1  S 2 BV 1 V 2 ,S 1  S 2 C V 1 V 2,S1  S 2 DV 1 V 2,S1  S 2 答案： C 6 4a 3 a3a ( ) 64 ;S 1  4( )264  4a2， 解析： 左V 1  3868 4a 3 a3a V 1 ( ) ;S 1  4( )2a2，所以V 1 V 2,S1  S 2 ，选 C 3262 4 高与底面直径之比为2:1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500，则球的体积为 （） A 2500 3500250012500  D B C 3333 答案： C 解析：设圆柱底面半径为r，则高为4r，r 4r  500 r  5,h  20，所以有： 2 42500 5h  ，选 R2 r2( )2125 R 