空间向量与立体几何全章复习与巩固

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固《空间向量与立体几何》全章复习与巩固 编稿：李霞审稿：张林娟 【学习目标】【学习目标】 1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及 其坐标表示； 2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量； 3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题； 4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题. 【知识网络】【知识网络】 空间向量的线性运算 空 间 向 量 及 其 运 算 空间向量的基本定理 共线向量定理 共面向量定理 空 间 向 量 与 立 体 几 何 两个向量的数量积 空间向量分解定理 平行与垂直的条件 空间向量的直角坐标运算 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 直线的方向向量与直线的向量方程 平面的法向量与平面的向量表示 直线与平面的夹角 二面角及其度量 距离 【要点梳理】【要点梳理】 要点一：空间向量的有关概念要点一：空间向量的有关概念 空间向量空间向量：空间中，既有大小又有方向的量； 空间向量的表示：空间向量的表示：一种是用有向线段AB表示，A叫作起点，B叫作终点； 一种是用小写字母a a（印刷体）表示，也可以用a（而手写体）表示． 向量的长度（模）向量的长度（模） ：：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作| AB |或|a |． 向量的夹角向量的夹角：过空间任意一点O作向量a a, ,b b的相等向量OA和OB，则AOB叫作向量a a, ,b b的夹角，记作 a a，b b，规定0 a a，b b ．如图： 零向量：零向量：长度为 0 或者说起点和终点重合的向量，记为0 0．规定：0 0 与任意向量平行． 单位向量：单位向量：长度为 1 的空间向量，即|a|1． 相等向量：相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：相反向量：方向相反但模相等的向量． 共线向量（平行向量）共线向量（平行向量） ：：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．．    b=0 或a， b=． a平行于b记作a//b，此时．a， 共面向量：共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：要点诠释： （1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方 向，空间向量可在空间内任意平移；       （2）当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可 能是平行直线． （3）对于任意一个非零向量a，我们把  a a 叫作向量a的单位向量，记作a 0 ．a 0 与a同向．      b=0 或时，向量a平行于b ，记作 a//b；当 a， b=时，向量a， b垂直，记作a  b．（4）当a， 2 要点二：空间向量的基本运算要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算：空间向量的基本运算： 运算类型几何方法运算性质 加法交换率： 1 平行四边形法则：   a b  b  a. 加法结合率： (a  b)  c  a  (b  c) 向 量 的 加 法 OC  OA AB  a b 2 三角形法则： a b  a  (b) OB  OA AB  a b AB  BC=AC AB  BA=0 向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法 向 量 的 数 量 积 1．a b是一个数： a b | a ||b|cos(a， b)； 三角形法则： BA  OAOB  a b OBOA AB a 是一个向量，满足： 0 时，a与a同向； 0 时，a与a异向； (a)  ()a ()a a a (a  b) a b a∥b  a b =0 时， a=0 a b b a (a) b  a (b) (a b) (a b) c  a c b c 2．a 0，b=0或a b a•b=0． a |a|2 | a b|| a| |b| 2 要点三：空间向量基本定理要点三：空间向量基本定理       共线定理：共线定理：两个空间向量a、b（b≠0） ，a//b的充要条件是存在唯一的实数，使a b． 共面向量定理：共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的一对实数 x, y，使p  xa  yb． 要点诠释：要点诠释： （1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理：空间向量分解定理： 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x, y,z，使 p  xa  yb  zc . 要点诠释：要点诠释： （1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； （2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就 隐含着它们都不是零向量0 0．． （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式空间两点的距离公式 若A(x 1, y1,z1) ，B(x2, y2,z2)，则 ①AB  OBOA (x2, y2,z2)(x 1, y1,z1 )  (x 2  x 1, y2  y 1,z2  z 1) ； ②| AB |AB (x2 x 1) 2(y 2  y 1) 2(z 2  z 1) 2 ； 2  x +x y +yz +z  ③AB的中点坐标为12，12，12  ． 22  2 空间向量运算的的坐标运算空间向量运算的的坐标运算 设a (x 1, y1,z1) ，b (x2, y2,z2)，则 ① ab (x 1  x 2 ,y 1  y 2 ,z 1  z 2 )； ② ab (x 1 x 2 ,y 1  y 2 ,z 1 z 2 )； ③ a (x 1, y 1, z 1)( R)； ④ ab  x 1x2  y 1 y 2  z 1z2 ； 222⑤a a a  x 1 2 y 1 2 z 1 2，b b b  x 2 ； y 2  z 2 ⑥cos a， b  a b a b  x 1x2  y 1 y 2  z 1z2 x  y  z 2 1 2 1 2 1 x  y  z 2 2 2 2 2 2 a  0， b  0 ． 空间向量平行和垂直的条件空间向量平行和垂直的条件 若a (x 1, y1,z1) ，b (x2, y2,z2)，则 ①a/ /b  a b  x 1 x 2 ，y1y2，z