空间向量与立体几何全章复习与巩固

空间向量与立体几何全章复习与巩固空间向量与立体几何全章复习与巩固 编稿李霞审稿张林娟 【学习目标】【学习目标】 1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及 其坐标表示； 2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量； 3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题； 4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题. 【知识网络】【知识网络】 空间向量的线性运算 空 间 向 量 及 其 运 算 空间向量的基本定理 共线向量定理 共面向量定理 空 间 向 量 与 立 体 几 何 两个向量的数量积 空间向量分解定理 平行与垂直的条件 空间向量的直角坐标运算 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 直线的方向向量与直线的向量方程 平面的法向量与平面的向量表示 直线与平面的夹角 二面角及其度量 距离 【要点梳理】【要点梳理】 要点一空间向量的有关概念要点一空间向量的有关概念 空间向量空间向量空间中，既有大小又有方向的量； 空间向量的表示空间向量的表示一种是用有向线段AB表示，A叫作起点，B叫作终点； 一种是用小写字母a a（印刷体）表示，也可以用a（而手写体）表示． 向量的长度（模）向量的长度（模） 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作| AB |或|a |． 向量的夹角向量的夹角过空间任意一点O作向量a a, ,b b的相等向量OA和OB，则AOB叫作向量a a, ,b b的夹角，记作 a a，b b，规定0 a a，b b ．如图 零向量零向量长度为 0 或者说起点和终点重合的向量，记为0 0．规定0 0 与任意向量平行． 单位向量单位向量长度为 1 的空间向量，即|a|1． 相等向量相等向量方向相同且模相等的向量． 相反向量相反向量方向相反但模相等的向量． 共线向量（平行向量）共线向量（平行向量） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．．    b0 或a， b． a平行于b记作a//b，此时．a， 共面向量共面向量平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释要点诠释 （1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方 向，空间向量可在空间内任意平移；       （2）当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可 能是平行直线． （3）对于任意一个非零向量a，我们把  a a 叫作向量a的单位向量，记作a 0 ．a 0 与a同向．      b0 或时，向量a平行于b ，记作 a//b；当 a， b时，向量a， b垂直，记作a  b．（4）当a， 2 要点二空间向量的基本运算要点二空间向量的基本运算 空间向量的基本运算空间向量的基本运算 运算类型几何方法运算性质 加法交换率 1 平行四边形法则   a b  b  a. 加法结合率 a  b  c  a  b  c 向 量 的 加 法 OC  OA AB  a b 2 三角形法则 a b  a  b OB  OA AB  a b AB  BCAC AB  BA0 向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法 向 量 的 数 量 积 1．a b是一个数 a b | a ||b|cosa， b； 三角形法则 BA  OAOB  a b OBOA AB a 是一个向量，满足 0 时，a与a同向； 0 时，a与a异向； a  a a a a a  b a b a∥b  a b 0 时， a0 a b b a a b  a b a b a b c  a c b c 2．a 0，b0或a b ab0． a |a|2 | a b|| a| |b| 2 要点三空间向量基本定理要点三空间向量基本定理       共线定理共线定理两个空间向量a、b（b≠0） ，a//b的充要条件是存在唯一的实数，使a b． 共面向量定理共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的一对实数 x, y，使p  xa  yb． 要点诠释要点诠释 （1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理空间向量分解定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x, y,z，使 p  xa  yb  zc . 要点诠释要点诠释 （1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； （2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就 隐含着它们都不是零向量0 0．． （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四空间向量的直角坐标运算要点四空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式空间两点的距离公式 若Ax 1, y1,z1 ，Bx2, y2,z2，则 ①AB  OBOA x2, y2,z2x 1, y1,z1  x 2  x 1, y2  y 1,z2  z 1 ； ②| AB |AB x2 x 1 2y 2  y 1 2z 2  z 1 2 ； 2  x x y yz z  ③AB的中点坐标为12，12，12  ． 22  2 空间向量运算的的坐标运算空间向量运算的的坐标运算 设a x 1, y1,z1 ，b x2, y2,z2，则 ① ab x 1  x 2 ,y 1  y 2 ,z 1  z 2 ； ② ab x 1 x 2 ,y 1  y 2 ,z 1 z 2 ； ③ a x 1, y 1, z 1 R； ④ ab  x 1x2  y 1 y 2  z 1z2 ； 222⑤a a a  x 1 2 y 1 2 z 1 2，b b b  x 2 ； y 2  z 2 ⑥cos a， b  a b a b  x 1x2  y 1 y 2  z 1z2 x  y  z 2 1 2 1 2 1 x  y  z 2 2 2 2 2 2 a  0， b  0 ． 空间向量平行和垂直的条件空间向量平行和垂直的条件 若a x 1, y1,z1 ，b x2, y2,z2，则 ①a/ /b  a b  x 1 x 2 ，y1y2，z