概率论与数理统计的答案详解

实用标准文档 概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计习题及答案 习题习题 一一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有 2 个发生； （8）A，B，C至少有 2 个发生. 【解】【解】 （1）ABC（2）ABC（3）ABC （4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=ABC (6)ABC (7)ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8)AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（AB）. 【解】【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)] =1[0.70.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1） 在什么条件下P（AB （2） 在什么条件下P（AB 【解】【解】 （1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为 0.6. （2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为 0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且P（AB）=P（BC）=0 （AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 精彩文案 P 实用标准文档 【解】【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C) = 7. P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) 111 ++ 443 13 = 124 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概 率是多少？ 5332 【解】【解】p=C 13C13C13C13 /C13 52 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 5 【解】【解】 （1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为 7 ，有利事件仅 1 个，故 P（A 1）= 11 5 =（）（亦可用独立性求解，下同） 757 5 （2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为 6 ，故 656 5P（A 2）= 5 =() 77 (3) 设A3={五个人的生日不都在星期日} P（A 3）=1 P(A 1)=1 ( 1 5 ) 7 9见教材习题参考答案. 10.一批产品共N件， 其中M件正品.从中随机地取出n件 （n30.如图阴影部分所示. 3021 P  2  604 22.0，1）中随机地取两个数，求： 6 的概率； 5 1 （2） 两个数之积小于的概率. 4 （1） 两个数之和小于 【解】【解】设两数为x,y，则 0乙反） 由对称性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反） 因此P(甲正乙正)= 46. 1 2 Surething） ：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则 P（A）≥P(B). 【证】【证】由P（A|C）≥P(B|C),得 P(AC)P(BC) , P(C)P(C) 即有P(AC)  P(BC) 同理由P(A|C)  P(B|C), 得P(AC)  P(BC), 故P(A)  P(AC) P(AC)  P(BC)P(BC)  P(B) 47.一列火车共有n节车厢， 有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至 少有一个旅客的概率. 【解】【解】设Ai={第i节车厢是空的}， （i=1,…,n）,则 (n1)k1 kP(A i )  (1) knn 2 P(A i A j )  (1)k n P(A i1 A i2 A in1 )  (1 n1 k) n 1 个.其中i1,i2,…,in 1 是 1，2，…，n中的任n 显然n节车厢全空的概率是零，于是 精彩文案 实用标准文档 11 kS 1 P(A i )  n(1)k C1(1) n nn i1 2 2S 2   P(A i A j ) C n (1)k n 1i jn n S n1  S n  0 1i1i2in1n  P(A i1Ai2 n1A in1 ) C n (1 n1 k) n P(A i )  S 1 S 2 S 3  i1 1 n (1)n1S n 2 C n (1) C n (1)  故所求概率为 1 n k 2 n k1(1)nCn n (1 n1 k) n 1 k 2 i21 P(A i ) 1C1 n (1) C n (1)  i1 nn n 1 (1)n1Cn n (1 n1 k) n 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε0.试证明：不论ε0 如何小，只要不断地 独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为 1. 【证】【证】 在前n次试验中，A至少出现一次的概率为 1(1)n1(n ) 49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币 （次品硬币的两面均印有国徽） .在袋中任取一只， 将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽} B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)  mn ,P(B)  mnmn 1 P(A| B)  r ,P(A| B) 1 2 则由贝叶斯公式知 P(B| A)  P(AB)P(B)P(A| B)  P(A)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B) m1 r m mn 2  rm1n 1 m2 n rmn 2mn 50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时 （不是发现空） 而另一盒恰有r根的概率又 精彩文案 实用标准文档 【解】【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B 1)  P(B2 )  1 .（1）发现一盒已空， 2 另一盒恰剩r根，说明已取了 2nr次，设n次取自B1盒（已空） ，nr次取自 B 2 盒，第 2nr+1 次拿起B1，发现已空。把取 2nr次火柴视作 2nr重贝努里 试验，则所求概率为 1 n 1 nr 11 nnp 1  2C 2 ( ) ( ) C nrnr 22222rr 式中 2 反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）. （2） 前 2nr1 次取火柴，有n1 次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2n 次取自B1盒，故概率为 r 1 n1 1 nr 11 2nr1n1n1p 2  2C 2 ( )( ) C( ) nr12nr1 2222 51.n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 【解】【解】设在一次试验中A出现