概率论与数理统计的答案详解

实用标准文档 概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计习题及答案 习题习题 一一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有 2 个发生； （8）A，B，C至少有 2 个发生. 【解】【解】 （1）ABC（2）ABC（3）ABC （4）A∪B∪CABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABCABC 5 ABCABC 6ABC 7ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABCABCA∪B∪C 8AB∪BC∪CAABC∪ABC∪ABC∪ABC 3 4.设A，B为随机事件，且P（A）0.7,PAB0.3，求P（AB）. 【解】【解】P（AB）1P（AB）1[PAPAB] 1[0.70.3]0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）0.6,PB0.7, （1） 在什么条件下P（AB （2） 在什么条件下P（AB 【解】【解】 （1） 当ABA时，P（AB）取到最大值为 0.6. （2） 当A∪BΩ时，P（AB）取到最小值为 0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）P（B）1/4，P（C）1/3 且P（AB）P（BC）0 （AC）1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 精彩文案 P 实用标准文档 【解】【解】P（A∪B∪C）PAPBPC 7. PABPBCPACPABC 111 443 13 124 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概 率是多少 5332 【解】【解】pC 13C13C13C13 /C13 52 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 5 【解】【解】 （1） 设A1{五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为 7 ，有利事件仅 1 个，故 P（A 1） 11 5 （）（亦可用独立性求解，下同） 757 5 （2） 设A2{五个人生日都不在星期日}，有利事件数为 6 ，故 656 5P（A 2） 5 77 3 设A3{五个人的生日不都在星期日} P（A 3）1 PA 11 1 5 7 9见教材习题参考答案. 10.一批产品共N件， 其中M件正品.从中随机地取出n件 （n30.如图阴影部分所示. 3021 P  2  604 22.0，1）中随机地取两个数，求 6 的概率； 5 1 （2） 两个数之积小于的概率. 4 （1） 两个数之和小于 【解】【解】设两数为x,y，则 0乙反） 由对称性知P（甲正乙正）P（甲反乙反） 因此P甲正乙正 46. 1 2 Surething） 若P（A|C）≥PB|C,PA|C≥PB|C，则 P（A）≥PB. 【证】【证】由P（A|C）≥PB|C,得 PACPBC , PCPC 即有PAC  PBC 同理由PA|C  PB|C, 得PAC  PBC, 故PA  PAC PAC  PBCPBC  PB 47.一列火车共有n节车厢， 有kk≥n个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至 少有一个旅客的概率. 【解】【解】设Ai{第i节车厢是空的}， （i1,,n）,则 n1k1 kPA i  1 knn 2 PA i A j  1k n PA i1 A i2 A in1  1 n1 k n 1 个.其中i1,i2,,in 1 是 1，2，，n中的任n 显然n节车厢全空的概率是零，于是 精彩文案 实用标准文档 11 kS 1 PA i  n1k C11 n nn i1 2 2S 2   PA i A j C n 1k n 1i jn n S n1  S n  0 1i1i2in1n  PA i1Ai2 n1A in1 C n 1 n1 k n PA i  S 1 S 2 S 3  i1 1 n 1n1S n 2 C n 1 C n 1  故所求概率为 1 n k 2 n k11nCn n 1 n1 k n 1 k 2 i21 PA i 1C1 n 1 C n 1  i1 nn n 1 1n1Cn n 1 n1 k n 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε0.试证明不论ε0 如何小，只要不断地 独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为 1. 【证】【证】 在前n次试验中，A至少出现一次的概率为 11n1n  49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币 （次品硬币的两面均印有国徽） .在袋中任取一只， 将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少 【解】【解】设A{投掷硬币r次都得到国徽} B{这只硬币为正品} 由题知 PB  mn ,PB  mnmn 1 PA| B  r ,PA| B 1 2 则由贝叶斯公式知 PB| A  PABPBPA| B  PAPBPA| B PBPA| B m1 r m mn 2  rm1n 1 m2 n rmn 2mn 50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少第一次用完一盒火柴时 （不是发现空） 而另一盒恰有r根的概率又 精彩文案 实用标准文档 【解】【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有PB 1  PB2  1 .（1）发现一盒已空， 2 另一盒恰剩r根，说明已取了 2nr次，设n次取自B1盒（已空） ，nr次取自 B 2 盒，第 2nr1 次拿起B1，发现已空。把取 2nr次火柴视作 2nr重贝努里 试验，则所求概率为 1 n 1 nr 11 nnp 1  2C 2  C nrnr 22222rr 式中 2 反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）. （2） 前 2nr1 次取火柴，有n1 次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2n 次取自B1盒，故概率为 r 1 n1 1 nr 11 2nr1n1n1p 2  2C 2  C nr12nr1 2222 51.n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 【解】【解】设在一次试验中A出现