祖冲之和π值的计算

祖冲之和祖冲之和 ππ 值的计算值的计算 祖冲之(429～500)，中国南北朝时期著名的数学家和天文学家．他在数学上 的主要贡献是： 1． 推算出圆周率π在不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927之间， 精确到小数点后 7 位． 2．和祖暅一起解决了球体积的计算问题，得到球体积公式，并提出了“幂 势既同，则积不容异”的原理． 祖冲之，字文远，他是我国南北朝时期的一位杰出的科学家．祖冲之的祖籍 在河北，但晋朝末年以来，北方连年混战，民不聊生，中原地区的大量人口移到 了南方， 这就促进了长江流域的农业生产和社会经济各方面的迅速发展．祖冲之 的祖父就是这些移民中的一员． 祖冲之出生在南方， 他的几代祖先都在南方做官， 他的家庭具有浓厚的研究科学的传统，祖家历代对天文历法都很有研究．据说他 的祖父掌管土木建筑，也懂得一些科学知识．在家庭的影响下，祖冲之从小就对 天文学和数学发生了浓厚的兴趣． 青年时祖冲之进入了政府的学术机构——华林学省，专门从事学术活动，后 来他又担任过大大小小的各种官职．但是做官并没有使他放弃对科学的研究，他 一生中对科学的研究孜孜不倦，并取得了杰出的成就．他的主要成就在数学、天 文历法和机械制造三个领域． 在数学上，祖冲之研究过《九章算术》和刘徽为之所做的注解，同时给《九 章算术》和刘徽的《重差》作过注解．他还写过一部著作《缀术》．这部书被收 入著名的《算经十书》中，作为唐代国子监算学课本．令人遗憾的是这些重要的 文献都已失传， 这是我国科学史上的一个重大损失． 所幸的是在 《隋书· 律历志》 中留下了一小段祖冲之的关于圆周率工作的记载，他算出 π 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之间，准确到小数后 7 位，成为当时世界上最先进的成就．唐代的 李淳风在《九章算术》的注文中记载了祖冲之和儿子祖暅求球体积的方法，才使 得这一成果能够流传下来． 在天文历法方面，祖冲之创制了《大明历》，这是以制成的年代命名的．这 部历法有许多革新突破点，例如最早将岁差引进历法；采用 3391 年加 144 个闰 月的新闰周；首次精密测出交点月日数（27.21223）和回归年日数（365.2428） 第 1 页共 6 页 等数据， 并且发明了用圭表测量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻的 方法，可以说《大明历》开辟了历法史的新纪元． 然而这样一部优良的历法上书皇帝要求颁布实行时， 遭到宋孝武帝的宠臣戴 法兴的百般刁难， 于是在朝廷上发生了激烈的争论． 戴法兴认为祖冲之引进岁差、 改革闰周等都违背了儒家经典．戴法兴指责祖冲之是“诬天背经”，大力宣扬日 月运行的规律“非凡夫所测”的不可知论观点．祖冲之针锋相对地写了一篇辩驳 的奏章．他表示“愿闻显据，以核理实”“浮辞虚贬，窃非所惧”，并且引用历 史文献和天象观测的大量事实，逐条批驳了戴法兴的论点，明确指出“天体运行 的规律，不是什么神圣的，不可捉摸的东西，是有形体可供观察考验，有数据可 以推算的”，科学在不断进步，人们不能“信古而疑今”．这场辩论充分体现了 一位科学家不畏强权，敢于坚持真理，勇于革旧创新的可贵品质．但是，在祖冲 之的有生之年，这部优秀的历法未能颁布实行． 祖冲之在机械制造方面曾经设计制造过利用水力加工粮食的水碓磨， 铜制机 件传动的指南车，一天能走百里的“千里船”以及一些陆上运输工具．他还设计 制造过漏壶（古代的计时器）和巧妙的款器等． 此外， 祖冲之还精通音律， 是一位下棋能手， 甚至写过小说， 他的著述很多， 可惜大部分都已失传．他是我国历史上少有的一位博学多才的人物． 为了纪念和表彰祖冲之在科学上的卓越贡献， 莫斯科大学里排列着世界上最 著名的科学家的雕像， 祖冲之是其中之一． 1961 年， 苏联发射宇宙火箭成功后， 决定用世界上最著名的科学家的名字来作为月球上山谷的名字， 于是月背面就有 了以祖冲之命名的环形山．我国紫金山天文台于 1977 年把该台在 1964 年 11 月 9 日发现的 1888 号小行星命名为祖冲之……从此，祖冲之这个名字将与日月并 存！ 在人类的生活中，最常见的图形之一是圆形的东西．例如：火红的太阳、皎 洁的月亮，清晨的露珠，旋转的年轮等等．逐渐地，人类在对这一类物体的观察 与研究中抽象出了一个几何概念：圆．圆是人类最早认识的几何图形之一，这个 被人们视为最简单而美丽的图形中包含着一个神秘的数：圆周率π ，这是一个与 直径的大小无关的常数． 第 2 页共 6 页 在人类的生产实践中常常遇到需要计算圆的面积和周长的问题， 这就引发了 人们对于 π 值的探讨．在远古时代，所取的 π 值是非常粗糙的．例如我国最早的 一部古书《周髀算经》中说：“周三径一”，即 π＝3．这个值在古巴比伦和埃 及人那里也曾被应用． 计算 π 的第一次科学尝试归功于古希腊的大数学家阿基米 德．从他以后，对求得 π 的更精确的值成了古代数学的一个经久不衰的课题，许 多人为此付出了大量的心血和汗水． 现在， 人们对 π 值的重视似乎已不在 π 值本 身，而把每一次更精确的π 值的得出看作人类对于自身毅力的检验，π 值成了各 民族坚韧不拔的毅力的象征．总的来说，在漫长的 π 值计算史中，人们所用的方 法有两种：古老的几何方法和 17 世纪以后风靡一时的分析方法．下面，我们就 沿着时间的走廊来浏览一下 π 值简捷的年表． 公元前 240 年， 阿基米德在他的论文 《圆的量度》 中记载了这样一个方法： 从圆内接和外切正六边形开始，每次把边数加倍，用这样一系列的内接和外切正 多边形来穷竭圆周，从而求得圆的周长与其半径之比．阿基米德求得了圆内接与 220223 外切正九十六边形的周长，得到 70 ＜π＜ 71 ． 公元 263 年， 我国三国时代的著名数学家刘徽首创了利用圆的内接正多边形 的面积接近于圆的面积的方法来计算圆周率，即割圆术．他的方法是以 1 尺为半 径作圆，作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，计算出正十二边形，正二十四 边形，正四十八边形和正九十六边形的面积，舍弃了分数部分后，得 π＝3.14， 后人把 3.14 称为“徽率”． 公元 480 年， 祖冲之把圆周率的计算又向前推进了一大步．他仍然采用刘徽 的割圆术，一直算到圆的内接正 12288（6×211）边形的边长，并算出了正 12288 和 24576 边形的面积后推得 π≈3.1415926． 在祖冲之的时代， 还没有纸和笔， 只能用算筹在地上摆出数字和计算过程． 从 圆内接正六边形起，每次倍增直到内接正 12288 边形．每进一步，都要把许多算 筹按照加、减、乘、除、开方、平方等 11 个步骤的同一运算程序反复摆弄 12 次，而每次都是对 9 位数字进行的，要完成这样复杂的运算，需要多么顽强的意 志和严谨细致的作风啊！ 第 3 页共 6 页 22355 祖冲之还找到了两个近似于 π 的分数值， 一个是 7 ， 称为约率， 另一个113， 称为密率，后者是祖冲之独创的，因此，后人称之为“祖率”，以纪念这位数学 家． 1429 年，阿拉伯数学家第一次打破了由祖冲之保持了1000 多年的 π 值“世 界纪录”．他在《关于弦和正弦》一文中分