积化和差和差化积专题精选

积化和差、和差化积专题 三角函数的积化和差公式：三角函数的积化和差公式： 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.其中前两 个公式可合并为一个： 三角函数的和差化积公式：三角函数的和差化积公式： 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： ①其中前两个公式可合并为一个：sin+ sin=2 sincos ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思 想. ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差， 才能直接运用公式化成积的形式， 如果一 个正弦与一个 余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积. ④合一变形也是一种和差化积. ⑤三角函数的和差化积， 可以理解为代数中的因式分解， 因此，因式分解在代数中起什 么作用，和差化 积公式在三角中就起什么作用. 积化和差与积差化积是一种孪生兄弟， 不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交 替使用.如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化 积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化 时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化， 因此有可能产生互消项或互约 因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段. 典型例题：典型例题： 例 1．把下列各式化为和或差的形式： 例 2．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°. 例 3． 例 4．求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72° 例 5．求 tan20°＋4sin20°的值. 例 6．求值： 例 7．已知 sin(A+B)=，sin(A-B)=﹣，求值： 例 8．求 sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值. 例 9．试证：cos2(A-)+cos2(B﹣)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)的值与无关. 专题训练一 一、基础过关 1． 函数 y＝cos x＋cos x＋ π 3的最大值是 A．2B. 3C. 3 2 D. 3 3 2． 化简1＋sin 4α－cos 4α 1＋sin 4α＋cos 4α的结果是 A．cot 2αB．tan 2α C．cot αD．tan α 3． 若 cos(α＋β)cos(α－β)＝1 3，则 cos2α－sin2β 等于 A．－2 3 B．－1 3 C.1 3 D.2 3 4． sin 20°cos 70°＋cos 40°cos 80°的值为 () () () () 1 A.4 5. B. 3 2 1 C.2D. 3 4 sin 35°－sin 25° 的值是________． cos 35°－cos 25° 6． 给出下列关系式： ①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ； 1 ③sin 3θ－sin 5θ＝－ cos 4θcos θ； 2 ④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； 1 ⑤sin xsin y＝ [cos x－y －cos x＋y] ． 2 其中正确的序号是________． 7． 化简： 8． 在△ABC 中，求证：sin A＋sin B＋sin C ABC ＝4coscoscos. 222 二、能力提升 9． cos2α－cos αcos(60°＋α)＋sin2(30°－α)的值为 1 A.2 3 B.2 1 D.4 () sin 40°1＋2cos 40° . 2cos240°＋cos 40°－1 3 C.4 10．已知 cos2α－cos2β＝m，那么 sin(α＋β)·sin(α－β)＝________. 11．化简：tan 20°＋4sin 20°. 11 12．已知 cos α－cos β＝ ，sin α－sin β＝－ ， 23 求 sin(α＋β)的值． 三、探究与拓展 13．已知△ABC的三个角A，B，C满足：A＋C＝2B， 的值． A－C112 ＋＝－，求cos cos Acos Ccos B2 专题训练二 1．下列等式错误的是() A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosBB．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosBD．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB 2．sin15°sin75°＝() 111 A.B.C.D．1 842 3．sin105°＋sin15°等于() 3266 A.B.C.D. 2224 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为() 3313 A.B.C.D. 4224 2．cos72°－cos36°的值为() 11 A．3－2 3B.C．－D．3＋2 3 22 C 3．在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos2，则△ABC 是() 2 A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形 π 4．函数 y＝sin x－6cosx 的最大值为( ) () 112 A.B.C．1D. 242 1 5．若 cos(α＋β)cos(α－β)＝ ，则 cos2α－sin2β 等于() 3 2112 A．－B．－C.D. 3333 ππ 6．函数 y＝sin x＋3－sinx(x∈[0， ])的值域是( ) 2 1 1313 A．[－2,2]B.－ ，  C. 2，1 D.，   22 2 2  227．cos 75°＋cos 15°＋cos75°·cos15°的值等于________． 2π1 8．已知 α－β＝，且 cosα＋cosβ＝ ，则 cos(α＋β)等于________． 33 π2π 9．函数 y＝cos x＋3cos x＋ 3 的最大值是______． 10．化简下列各式： cosA＋cos120°＋B＋cos120°－BsinA＋2sin3A＋sin5A (1)；(2). sinB＋sin120°＋A－sin120°－Asin3A＋2sin5A＋sin7A () [] () () 11. 在△ABC 中，若 B＝30°，求 cosAsinC 的取值围． 5 sin x 21 12．已知 f(x)＝－ ＋，x∈(0，π)． 2x 2sin2 (1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式； (2)求 f(x)的最小值． 答案 1 解析：选 D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知 A、B、C 正确． 11111 2 解析：选 B.sin15°sin75°＝－ [cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝－ (cos90°－cos60°)＝－ (0－ )＝ . 22224 105°＋15°105°－15°6 3 解析：选 C.sin105°＋sin15°＝2sincos＝2sin60°cos45°＝. 222 2＋11 21 2＋11 ＝＝.＝ (sin45°＋sin30°)＋ 422242 1 4 解析：sin37.5°c