函数的奇偶性-知识点及习题
函数的奇偶性 一、关于函数的奇偶性的定义 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就称偶函数; 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就称奇函数; 二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; 2、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立; 3、可逆性:是偶函数;奇函数; 4、等价性:;; 5、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称; 6、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上: 奇±奇=奇(函数) 偶±偶=偶(函数) 奇×奇=偶(函数) 偶×偶=偶(函数)奇×偶=奇(函数) 8、多项式函数的奇偶性 多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 9、复合函数的奇偶性 若函数的定义域都是关于原点对称的,那么由 的奇偶性得到的奇偶性的规律是: 函数 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 即当且仅当和都是奇函数时,复合函数是奇函数. 三、函数的奇偶性的判断 函数奇偶性的因素有两个:定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。 判断函数奇偶性的方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查是否与、相等,判断步骤如下: 1、定义域是否关于原点对称;若定义域不对称,则为非奇非偶函数;若定义域对称,则有成为奇(偶)函数的可能 2、数量关系哪个成立; 判断分段函数的奇偶性 判断分段函数的奇偶性时,通常利用定义法判断,在函数定义域中,对自变量X的不同取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数,分段函数不是几个函数,而是一个函数,因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称,然后判断与的关系,首先要特别注意X与—X的范围,然后将它们代入相应段的函数表达式中,与对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定 命题1:函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题2:两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面,如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有定义;另一方面,两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数,如,,可以看出函数与都是定义域上的函数,它们的差只在区间上有定义且,而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。 命题3:是任意函数,那么与都是偶函数。 此命题错误。一方面,对于函数不能保证或;另一方面,对于一个任意函数而言,不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数是偶函数。 命题4:如果函数满足:,那么函数是奇函数或偶函数。 此命题错误。如函数从图像上看,的图像既不关于原点对称,也不关于轴对称,故此函数非奇非偶。 命题5:设f(x)是定义域关于原点对称的一个函数,则F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x)=f(x)-f(-x)为奇函数. 此命题正确。由函数奇偶性易证。 命题6:已知函数是奇函数,且有定义,则。 此命题正确。由奇函数的定义易证。 命题7:已知是奇函数或偶函数,方程有实根,那么方程的所有实根之和为零;若是定义在实数集上的奇函数,则方程有奇数个实根。 此命题正确。方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若,则。对于定义在实数集上的奇函数来说,必有。故原命题成立。 五、关于函数按奇偶性的分类 全体实函数可按奇偶性分为四类:①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。 六、关于奇偶函数的图像特征 一般地:奇函数的图像关于原点对称,反过来,如果一个函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数;偶函数的图像关于轴对称,反过来,如果一个函数的图像关于轴对称,那么这个函数是偶函数。 图象法:如二次函数成为偶函数,必须要使对称轴,即;若二次函数成为奇函数,必须要使;当时,二次函数是非奇非偶函数。 奇函数对称区间上的单调性相同,偶函数对称区间上的单调性相反。 七、关于函数奇偶性的简单应用 函数的奇偶性是函数的重要性质之一,也是每年高考的重点和热点内容之一,利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小,求函数的解析式,讨论函数的单调性,求参数的值等。现分别举例说明如下: 1、利用奇偶性求函数值 【例1】已知且,那么 。 【例2】设f(x)是定义在R上的偶函数,若当x≥0时,f(x)=log3(1+x),则f(-2)=____ _。 【例3】 是定义在R上的奇函数,则=___;若有,则___; 若;则___; 【例4】已知函数,若为奇函数,则___; 2、利用奇偶性比较大小 【例5】已知偶函数在上为减函数,比较,,的大小。 【例6】若是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则下列各式成立的是:( ) 【例7】 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为,那么在区间上是( ) A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是 C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是 【例8】 ,为偶函数,试比较的大小关系。 【例9】 为偶函数,,若,求取值范围。 3、利用奇偶性求解析式 【例10】已知为偶函数,当时,,当时,求的解析式。 【例11】若是定义在(-∞,0)(0,+∞)上的奇函数,当x<0时,,求当时,函数的解析式。 【例12】设是定义在R上的奇函数,且当,试求函数的解析式。 4、利用奇偶性讨论函数的单调性 【例15】若是偶函数,讨论函数的单调区间。 5、利用奇偶性求参数的值 【例16】定义在R上的偶函数在是单调递减,若,则的取值范围是如何? 【例17】设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)