函数的奇偶性-知识点及习题

函数的奇偶性 一、关于函数的奇偶性的定义 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就称偶函数； 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就称奇函数； 二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 2、整体性奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； 3、可逆性是偶函数；奇函数； 4、等价性；； 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； 6、可分性根据函数奇偶性可将函数分类为四类奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上 奇奇＝奇（函数） 偶偶＝偶（函数） 奇奇＝偶（函数） 偶偶＝偶（函数）奇偶＝奇（函数） 8、多项式函数的奇偶性 多项式函数是奇函数的偶次项即奇数项的系数全为零. 多项式函数是偶函数的奇次项即偶数项的系数全为零. 9、复合函数的奇偶性 若函数的定义域都是关于原点对称的,那么由 的奇偶性得到的奇偶性的规律是 函数 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 即当且仅当和都是奇函数时,复合函数是奇函数. 三、函数的奇偶性的判断 函数奇偶性的因素有两个定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。 判断函数奇偶性的方法利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下 1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能 2、数量关系哪个成立； 判断分段函数的奇偶性 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，首先要特别注意X与X的范围，然后将它们代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定 命题1函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题2两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如，，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。 命题3是任意函数，那么与都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。 命题4如果函数满足，那么函数是奇函数或偶函数。 此命题错误。如函数从图像上看，的图像既不关于原点对称，也不关于轴对称，故此函数非奇非偶。 命题5设fx是定义域关于原点对称的一个函数，则F1x＝fx＋f－x为偶函数，F2x＝fx－f－x为奇函数． 此命题正确。由函数奇偶性易证。 命题6已知函数是奇函数，且有定义，则。 此命题正确。由奇函数的定义易证。 命题7已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。 此命题正确。方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知若，则。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。故原命题成立。 五、关于函数按奇偶性的分类 全体实函数可按奇偶性分为四类①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。 六、关于奇偶函数的图像特征 一般地奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。 图象法如二次函数成为偶函数，必须要使对称轴，即；若二次函数成为奇函数，必须要使；当时，二次函数是非奇非偶函数。 奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。 七、关于函数奇偶性的简单应用 函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下 1、利用奇偶性求函数值 【例1】已知且，那么 。 【例2】设f（x）是定义在R上的偶函数，若当x≥0时，f（x）log3（1x），则f（－2）____ _。 【例3】 是定义在R上的奇函数,则___；若有，则___； 若；则___； 【例4】已知函数,若为奇函数，则___； 2、利用奇偶性比较大小 【例5】已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。 【例6】若是R上的偶函数，且在[0，∞）上是增函数，则下列各式成立的是（ ） 【例7】 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ） A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【例8】 ，为偶函数，试比较的大小关系。 【例9】 为偶函数，，若，求取值范围。 3、利用奇偶性求解析式 【例10】已知为偶函数，当时，，当时，求的解析式。 【例11】若是定义在（-∞，0）（0，∞）上的奇函数，当x0时，，求当时，函数的解析式。 【例12】设是定义在R上的奇函数,且当，试求函数的解析式。 4、利用奇偶性讨论函数的单调性 【例15】若是偶函数，讨论函数的单调区间。 5、利用奇偶性求参数的值 【例16】定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何 【例17】设定义在[－2,2]上的奇函数fx在区间[0,2]上单调递减，若f1－mfm，求实数m的取值范围． 6、利用奇偶性证明不等式 【例18】求证 7、函数奇偶性的判定问题 【例19】 判断下列函数的奇偶性 （1）f（x）|x1|－|x－1|； （2）f（x）（x－1）； （3）f（x）； （4）f（x） （5） 【例20】判断下列函数的奇偶性 【例21】判断函数fx＝的奇偶性． 【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f－x与fx的关系，只有当对称的两段上