高一-培优-函数的单调性与奇偶性
个性化教学辅导教案 学科:数 学 年级:十年级 任课教师: 授课时间:2017 年 秋季班 第03周 教学 课题 函数的单调性与奇偶性 教学 目标 复习掌握函数的基本性质及他们之间的关系 教学 重难点 熟练运用性质解题 教学过程 函数的单调性 (注意:函数的单调性是函数的局部性质) 设函数的定义域为,若对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量,当时,始终有,那么就说在区间上是增函数.区间称为的单调增区间; 当时,始终有,那么就说在区间上是减函数.区间称为的单调减区间. 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ①任取,令;②作差;③变形(通常是因式分解和配方); ④定号(判断差的正负);⑤下结论(指出函数在给定的区间上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性“同增异减” 或 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 (D)多个函数加减的单调性 + - 增 增 增 无 增 减 无 增 减 减 减 无 减 增 无 减 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成并集的形式,多个单调性相同的区间只能用中文字“和”来连接. 例1. 讨论函数的单调性. 例2. 已知定义在区间上的函数满足,且当时,. (1)求的值;(2)判断的单调性;(3)若,解不等式. 变式:函数对任意的,都有,并且当时,. (1) 求证:是上的增函数;(2)若,解不等式. 例3. 已知定义域为的函数是奇函数. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)判断函数的单调性; (Ⅲ)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围. (Ⅳ)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围。 变式:设,函数,,设和的公共定义域为集合,当时,在上的值域是。 (1)求集合;(2)确定函数在上的单调性;(3)求的取值范围。 函数的奇偶性 (注意:函数的奇偶性是函数的整体性质) 一般地,对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么叫做偶函数。 一般地,对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么叫做奇函数。 注:①如果奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0;②偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称;③奇函数与偶函数的定义域一定关于原点对称. 函数奇偶性判定方法: (A)定义法 ①首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;②求出,与进行比较; ③作结论:若,则是偶函数;若,则是奇函数.否则非奇非偶。 (B)借助函数的图象判定 (C)多个函数加减的奇偶性 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 偶 非奇非偶 偶 奇 非奇非偶 (D)多个函数乘除的奇偶性“同偶异奇” 或() 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 偶 奇 奇 任何一个函数定义域关于原点对称的函数,总可以拆分成一个奇函数与一个偶函数的和。 例:,则为偶函数; 为奇函数。 例1. 判断下列函数的奇偶性. (1); (2); (3) 变式:判断下列各函数的奇偶性: (1); (2); (3) 变式:设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数。 例2.已知函数,当时,,根据条件写出的完整表达式. ①若为上的偶函数; ②若为上的奇函数。 变式:已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,,试求函数的表达式. 变式:已知函数是定义在R上的偶函数,当时,,试求函数的表达式. 例3. 已知函数为偶函数,其定义域为,求的值。 变式:已知函数为偶函数,则的值是( ) A. B. C. D. 变式:已知二次函数,若是偶函数,则实数的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 例4. 已知函数的定义域为,且同时满足下列条件:试求的取值范围。 (1)是奇函数;(2)在定义域上单调递减;(3) 变式:已知是定义在上的偶函数,在上为减函数,若,求实数的取值范围。 例5. 已知是奇函数,,则=_____。 变式:已知,其中为常数,若,则____。 例6. 已知函数的定义域是的一切实数,对定义域内的任意都有,且当时. (1)求证:是偶函数;(2)在上是增函数;(3)解不等式. 变式:已知函数 (1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的值域;(3)证明函数在上是增函数。 课后作业: 1.已知函数为偶函数,则的值是( ) A. B. C. D. 2.若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) A. B. C. D. 3.如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是( ) A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是 C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是 4.设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数。 5.下列函数中,在区间上是增函数的是( ) A. B. C. D. 6.函数是( ) A.是奇函数又是减函数 B.是奇函数但不是减函数 C.是减函数但不是奇函数 D.不是奇函数也不是减函 7.设奇函数的定义域为,若当时, 的图象如右图,则不等式的解是 8.函数的值域是________________。 9