固体物理学第五章习题
第五章习题P3O5 1. 解:一维部洛赫电子的能带具有如下性质, E(k) = E(k + 隽),s = 0、±l、±2… 于是有.遂=遂 丁正有-dkk dk k+s«a 和H k ~ dk -k ……② 而布里渊区在边界上,k - =i ,取k = —y-代入①、②两式,可得: 2a2a dE _ dE dE _ dE dk s dk s , dk 2L dk _2L 2a 2a 2a2a 由上两式相容的条件立即得到:誓 S =0,即能量取极值。 ok + 2a (可参看附加题1、2,课本P288例1、P290例3) 2. 解:对面心立方格子,原胞的三个基矢为: = *(j + k),=岩成 + i),。3=号1+/), 倒格子基矢为:= * (—i + j + k) 。2=土二_/ +幻 。3 =+ = + /_£) 倒格矢:Kn =补 1 + n2b2 +沔方3 =土[(一勺 + 食 + %),+ (勺-n2 +n3)j + (“i + n2 -n3)k] 面心立方格子是一个边长为2的体心立方格子,离原点最近的八个倒格点的 a 坐标是: 土 (1,1,1), (1,1,1), 土 (11,1),虾 1,1) g), 1(L1,1),虾II),虾讨) 相应的倒格矢长度是:Kn 六个次近邻倒格点的坐标是: 土(±2,0,0), 土(0,±2,0), (0,0+2), 相应的倒格矢长度为:火〃 =2 〃 a 由最近邻和次近邻倒格矢的中垂面围成的多面体截角八面体(它是一个 十四面体)便是面心立方格子的第一布里渊区。如课本P261图5-3。 3. 解:(参考徐习P259〜260,教材P191,4-19式) (I)按照定义,E空间中e=Ef的等能面称为费米面,由ef =知道, 2m 这是半径为kF的球面。在绝对零度下,电子全部位于费米球内,T=0K时, 费米能级的能量 h 7 ?“2/3〃 式中n为电子浓度,令 kF = ( 2m 2m 8〃 7/3〃 得,kp —( 8〃 设晶体的电子总数为N,体积为V,对于具有简单立方结构的单价金属,V=Na L因此,所求费米球半径: k =尸 N %3 1 匕=0.492 F 8/r V 8tt a3 a =—=0.147 xlOlu Im 3.345 xl()T° (2)因简单立方边界为a,其第一布里渊区是后空间中边长为 l/a的立方体,体积为l/cP,故费米球刚好被包含在其内部。费米求到布里 渊区边界的最短距离等于: (l/2) X (1/ a )-0. 492/ a =0. 008/3. 345^0. 002 X 1O10 3) 4. 证明:对边长为a的二维正方格子,其第一布里渊区是后空间中一个边长 出A的波矢分别为似= 人2a 为l/a的正方形,如图,其角隅处C和侧边中点 相应的自由电子能量为: 日_护k: _力2 Ec = ^k^ = j^ 2m 4ma 可见,Ec — 2EAo 对于三维简单立方晶格,若晶格 第一布里渊区是一个边长为1/a 如图: 717 此时 9 k a =, 2a 2a 的立方体, 常数为a , 相应的自由电子能量为: 日_护k: _力2 h2kc2 _ 3/z2 2m 可见: Ec — 3Ea。 即对简单立方晶格,第一布里渊区角隅处一个自由电子的能量等于侧面中点 处能量的3倍。 5.解:若只计及最近邻的相互作用,用紧束缚近似法处理晶体中S态的电子 的能量,其结果是: 一最近令K P E(k) = E°—A+ S e12^“ 〃-6)人〃 Rn 式中Rq和R〃分别是参考原子及其各个最近邻的位矢。在二维正三角形晶格 中,有6个最近邻,如图: (Q , 0), 如选取参考原子为坐标原点,即 R =0, 6个最近邻的坐标分别 KJ (-Q , 0) (a/2,( a/2,-争a) (-a/2,OC ), (-a/2,) 对于S态电子,各个最近邻的交迭积分皆相等,令虹=7,则得: E席)= E0-A-J[舟兀虹+『眼* i兀a(k*+Jik、,), i兀a(k、.一姐k、、) + e• + e- , -ijia{kx+41>kv}—i兀 ag—Jik、 + e+ ej =Eq- A- J(2cos27rakx + 1el7lckx cos用兀ak》 + 2©-,瑚* cosV^rci绮) =Eq - A-2J(cos27iakx + 2cos兀ok乂 cos的兀ok亍)至于速度 v(^),可按如下方法求得: vx = ¥夺=誓或(sin 2jcckx + sin7iakx cos-Jl)7iakx) x h okx hxxy vv = ?集=**如 cos 7iakx sin g兀ok ) y h oky, hxy7 y 所以: v(^)=气产[(sin 17iakx + sin 7iakx cos 用兀ak, )i + (V3 cos 7iakx sin 际兀ak,) j] 其次,由公式: 1 _ 1 d2E %• h2 dk^kj 可求得有效质量各分量为: 1J7只[、 =——(2 cos 27iakY + cos 7iakY cosKXak、,) mxx h2y 1127r2a2J7,7 =COS 7TC/K COS 板(lk ^xy g h2 6. 证明:若只计及最近邻的相互作用,用紧束缚近似法处理晶体中的S态电 子所得结果是: E。 式中Rq和R〃分别是参考原子及其最近邻的位矢。在简立方晶格中,有6个 最近邻,如选取A, “O,即以参考原子为坐标原点,则这6个最近邻的坐 标分别为:Q (1,0,0); Q(i,0,0) ;Q (0,1,0); Q(o, i,0); a (0,0, 1); a (0, 0, T) 这里a是晶格常数。对于S态电子,交迭积对各个最近邻皆相等,令 J3 = —J ,则得: E(Q = E° -A-J[ei271^ + /兀瓦 i2yicxk、,—i2兀cxk、,i^Tioic—i^Tiok, + e y +e + e : + e z ] =E° - A- 2 J (cos “17iakx + cos “17iaky + cos 17iakz )在能带底 处,kx = kv = kz =0,对应的能量有最小值: Emin = Eq ~ A-6J 在能带顶处,^r = ± 1/2 a , kv = ±l/2 a , k =±1/2 a 对应能量有最大值:E^x = E0-A + 6J 因此,能带宽度为:AE — E