固体物理学第五章习题

第五章习题P3O5 1. 解一维部洛赫电子的能带具有如下性质， Ek Ek 隽,s 0、l、2 于是有.遂遂 丁正有-dkk dk ksa 和H k dk -k ② 而布里渊区在边界上，k - i ,取k y-代入①、②两式，可得 2a2a dE _ dE dE _ dE dk s dk s ， dk 2L dk _2L 2a 2a 2a2a 由上两式相容的条件立即得到誓 S 0,即能量取极值。 ok 2a 可参看附加题1、2,课本P288例1、P290例3 2. 解对面心立方格子，原胞的三个基矢为 *j k,岩成 i,。3号1/, 倒格子基矢为 * i j k 。2土二_/ 幻。3 /_ 倒格矢Kn 补 1 n2b2 沔方3 土[一勺 食 ， 勺-n2 n3j i n2 -n3k] 面心立方格子是一个边长为2的体心立方格子，离原点最近的八个倒格点的 a 坐标是 土 1,1,1, 1,1,1, 土 11,1,虾 1,1 g, 1L1,1,虾II,虾讨 相应的倒格矢长度是Kn 六个次近邻倒格点的坐标是 土2,0,0, 土0,2,0, 0,02, 相应的倒格矢长度为火〃 2 〃 a 由最近邻和次近邻倒格矢的中垂面围成的多面体截角八面体（它是一个 十四面体）便是面心立方格子的第一布里渊区。如课本P261图5-3。 3. 解（参考徐习P259〜260,教材P191,4-19式） （I）按照定义，E空间中eEf的等能面称为费米面，由ef 知道, 2m 这是半径为kF的球面。在绝对零度下，电子全部位于费米球内，T0K时， 费米能级的能量 h 7 2/3〃 式中n为电子浓度，令 kF 2m 2m 8〃 7/3〃 得，kp 8〃 设晶体的电子总数为N,体积为V,对于具有简单立方结构的单价金属，VNa L因此，所求费米球半径 k 尸 N 3 1 匕0.492 F 8/r V 8tt a3 a 0.147 xlOlu Im 3.345 xlT 2因简单立方边界为a,其第一布里渊区是后空间中边长为 l/a的立方体，体积为l/cP,故费米球刚好被包含在其内部。费米求到布里 渊区边界的最短距离等于 l/2 X 1/ a -0. 492/ a 0. 008/3. 3450. 002 X 1O10 3 4. 证明对边长为a的二维正方格子，其第一布里渊区是后空间中一个边长 出A的波矢分别为似 人2a 为l/a的正方形，如图，其角隅处C和侧边中点 相应的自由电子能量为 日_护k _力2 Ec k j 2m 4ma 可见，Ec 2EAo 对于三维简单立方晶格，若晶格 第一布里渊区是一个边长为1/a 如图 717 此时 9 k a ， 2a 2a 的立方体, 常数为a , 相应的自由电子能量为 日_护k _力2 h2kc2 _ 3/z2 2m 可见 Ec 3Ea。 即对简单立方晶格，第一布里渊区角隅处一个自由电子的能量等于侧面中点 处能量的3倍。 5.解若只计及最近邻的相互作用，用紧束缚近似法处理晶体中S态的电子 的能量，其结果是 一最近令K P Ek EA S e12 〃-6人〃 Rn 式中Rq和R〃分别是参考原子及其各个最近邻的位矢。在二维正三角形晶格 中，有6个最近邻，如图 Q , 0, 如选取参考原子为坐标原点，即 R 0, 6个最近邻的坐标分别 KJ -Q , 0 a/2, a/2,-争a -a/2,OC , -a/2, 对于S态电子，各个最近邻的交迭积分皆相等，令虹7，则得 E席 E0-A-J［舟兀虹『眼* i兀ak*Jik、,, i兀ak、.一姐k、、 e e- , -ijia{kx41kv}i兀 agJik、 e ej Eq- A- J2cos27rakx 1el7lckx cos用兀ak 2-，瑚* cosVrci绮 Eq - A-2Jcos27iakx 2cos兀ok乂 cos的兀ok亍至于速度 v，可按如下方法求得 vx 夺誓或sin 2jcckx sin7iakx cos-Jl7iakx x h okx hxxy vv 集**如 cos 7iakx sin g兀ok y h oky, hxy7 y 所以 v气产［sin 17iakx sin 7iakx cos 用兀ak, i V3 cos 7iakx sin 际兀ak, j］ 其次，由公式 1 _ 1 d2E h2 dkkj 可求得有效质量各分量为 1J7只［、 2 cos 27iakY cos 7iakY cosKXak、, mxx h2y 1127r2a2J7,7 COS 7TC/K COS 板lk xy g h2 6. 证明若只计及最近邻的相互作用，用紧束缚近似法处理晶体中的S态电 子所得结果是 E。 式中Rq和R〃分别是参考原子及其最近邻的位矢。在简立方晶格中，有6个 最近邻，如选取A, O,即以参考原子为坐标原点，则这6个最近邻的坐 标分别为Q 1,0,0; Qi,0,0 ；Q 0,1,0; Qo, i,0; a 0,0, 1; a 0, 0, T 这里a是晶格常数。对于S态电子，交迭积对各个最近邻皆相等，令 J3 J ,则得 E（Q E -A-J[ei271 /兀瓦 i2yicxk、,i2兀cxk、,iTioiciTiok, e y e e e z ] E - A- 2 J （cos 17iakx cos 17iaky cos 17iakz ）在能带底 处，kx kv kz 0,对应的能量有最小值 Emin Eq A-6J 在能带顶处，r 1/2 a , kv l/2 a , k 1/2 a 对应能量有最大值Ex E0-A 6J 因此，能带宽度为AE E