高考中的平面向量问题
甫旁彳翰年而向量问缸 天津四中李晖 近几年来,平面向量成为高考考查的重点,分值逐年增加。考查地重点一方 面是平面向量的基本概念及基本运算能力;另一方面平面向量的坐标运算和平面 向量的数量积的概念、性质及运算律也是考查的重点。向量是一个有“形”的几 何量,因此,在研究与向量相关的问题时,一定要结合图形进行分析、判断和求 解,这是研究平面向量问题的重要方法和技巧。 1. (2006年湖南卷•理15)如图1, OM//AB,点P在由射线线段03 及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP = xOA+ yOB,则x的取值 范围是一 浩一牌,浦取值范围是 解析:依题意,在射线0M上取ON = AB 由平行四边形法则,可得到OP = mON + nOB , 其中,m g(0,-l-oo) n e(0,1) 则 OP = mAB+nOB — rr^OB — OA^+ nOB = —mOA+(m + n)OB 图1 x = -m, y - m+ n ,则 OP — xOA+ yOB ,由此可得 x g (- oo,0) 当 = 时,y = — + n g 22 说明:本题主要考查平面向量的基本定理,同时,要利用实数与向量的积的概念 结合图形分析实数m和n的取值范围,从而求出x和y的取值范围。 2. (2006年陕西卷•理9)己知非零向量应与At:满足(A左+AC).武=0且 | 闵 |At| Afe At ] |闵 |At| 一2, 则AABC为( A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 所以,cosC-cosB=0,其中 B,C 为AABC 内角,则ZC=ZB 故AABC为等腰三角形; 又由咎.兰£届.衣 =L|商就 ncosA = Ln A = 60” 网网 22 I I I I 2 综上所述,可知△ ABC为等边三角形. 说明:本题主要考查向量的数量积和向量的夹角,在两个向量的数量积的运算中 一定要注意夹角,必须是两个向量有共同的起点时所构成的角. 3. (2006 年浙江卷•理 13)设;,b , U满足E + U = 6, (a-^)±c, alb, 若H = l,则H + b +|c|的值为. 解析:[方法 1]由(0-片)_Lc,可知[a-b^-c = 0即一方).(—c)=O 由此可得(a-方)•(£? +方)=a -b =0,故p| = |&| = 1 ; —2/—* —* Yb —2—*■ — —2 —2 —* 2— 2 I—>12 |-*| 2 又c =一(。+切=a +2a-b + b = a +b = 2 ,故 a + Z? + c = 4. [方法2]依题意构图如右,令OA=a, OB=b,其中OA±OB,作平行四边形ABCD OC =OA + OB = a + b = -c ,= c , BA = OA-OB =a-b 由于alb,则ZA0B=90°,即平行四边形ABCD为矩形, 又由于0项葺,则CO1BA,所以四边形ABCD为正方形。 a=H = l, H = a-&=M|=V^,从而 a\ff+ff=4. 说明:主要考查平面向量的性质和运算法则,以及基本运算技能,要求考生掌握 平面向量的和,差,数乘和内积的运算法则,理解其直观的几何意义,并能正确 地进行运算. 4. (2003年天津卷•理4) 0是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点, —> —>AC r 、 的轨迹一定通过AABC 动点P满足。户=。4+人徽+告,人c[0,+oo),则点P 〔网MJ 的() (A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心 ——> —► —►AB AC 解析:(方法1)当入>0时,因为4P = OF-04 = 4 — + 告。0 / 、 所以, AP AB 2 、 AC AB ap[\ab\ 网•网/ / 、 cos( AP, AC AP AC 2 AC AB 、 ap[\ac\ I同U衣H网 / 得到 cos(AP,疝)=cos^AP, AC^ ,所以(~AP,AB^ = (1?, AC^ 因为A、B、C三点不共线,所以AP平分ZBAC 得到点P的轨迹一定通过AABC的内心.故答案为B A R ► A f 1►►►►►► (方法 2) -—- = ABi.^ = AC1^\ABl+ACl=A^ 其中,ABX = AC. =1 网 M 则动点 P SM OP = OA + 2AI\,A e [0,+oo). 所以,点P的轨迹是由点A出发的射线APi. 由于|ab^| = |aq| = i, IX = gX且藉〃亍刀, 所以APi平分ZBAC. 因此,点P的轨迹一定通过AABC的内心.故答案为B. 5. (2002年一文(12),理(10))平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点4(3,1), 3(—1,3),若点 C 满足OC = aOA+j3OB,其中oc,/3eR, >« + /? = !,则点 C 的轨迹方程为(). (A) (x — l)2+(y — 2)2 =5(B) 3x + 2y —11 = 0 (C) 2x-y = 0(D) x + 2y-5 = 0 解析:[方法 1]设 C(x, j),由题意(%, y) = «(3,1) + ^(-1,3) = (3(z -/3,a + 3/3}. 于是 <3^,①+②又2 得 x +2y = 50 + “) = 5 . 于是点C的轨迹方程为x + 2y-5 = 0. [方法2]已知汤,汤不共线,有OC = aOA +J3OB ,且其中« + /? = !. 因此C点在A,3两点确定的直线上,利用两点式直线方程公式立即有 虹^ =匹乏,即x + 2v-5 = 0.故选D. 3-1 -1-3“ 6. (2006年辽宁卷•理12)设0(0,0), A(l,0), B(0,1),点P是线段上的一个动 点,宏=人序,若桥.序2有而,则实数;I的取值范围是() (A)-<2<1 (B) 1- —<2<1 (C) -<2<1 + — (D) 1-—<2PA PB ) 得到(x, 1-x) (-1, 1) N (1-x, x-1) (-x, x),整理得:2x2