高考中的平面向量问题

甫旁彳翰年而向量问缸 天津四中李晖 近几年来，平面向量成为高考考查的重点，分值逐年增加。考查地重点一方 面是平面向量的基本概念及基本运算能力；另一方面平面向量的坐标运算和平面 向量的数量积的概念、性质及运算律也是考查的重点。向量是一个有“形”的几 何量，因此，在研究与向量相关的问题时，一定要结合图形进行分析、判断和求 解，这是研究平面向量问题的重要方法和技巧。 1. （2006年湖南卷理15）如图1, OM//AB,点P在由射线线段03 及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB，则x的取值 范围是一 浩一牌，浦取值范围是 解析依题意，在射线0M上取ON AB 由平行四边形法则，可得到OP mON nOB , 其中，m g0,-l-oo n e0,1 则 OP mABnOB rrOB OA nOB mOAm nOB 图1 x -m, y - m n ,则 OP xOA yOB ,由此可得 x g - oo,0 当 时，y n g 22 说明本题主要考查平面向量的基本定理，同时，要利用实数与向量的积的概念 结合图形分析实数m和n的取值范围，从而求出x和y的取值范围。 2. （2006年陕西卷理9）己知非零向量应与At满足（A左AC）.武0且 | 闵 |At| Afe At ] |闵 |At| 一2， 则AABC为 A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 所以，cosC-cosB0,其中 B,C 为AABC 内角，则ZCZB 故AABC为等腰三角形； 又由咎.兰届.衣 L|商就 ncosA Ln A 60” 网网 22 I I I I 2 综上所述，可知△ ABC为等边三角形. 说明本题主要考查向量的数量积和向量的夹角，在两个向量的数量积的运算中 一定要注意夹角，必须是两个向量有共同的起点时所构成的角. 3. （2006 年浙江卷理 13）设；，b , U满足E U 6, （a-）c, alb, 若H l,则H b |c|的值为. 解析［方法 1］由（0-片）_Lc,可知［a-b-c 0即一方）.（c）O 由此可得（a-方）（ 方）a -b 0,故p| || 1 ； 2/* * Yb 2*■ 2 2 * 2 2 I12 |-*| 2 又c 一（。切a 2a-b b a b 2 ,故 a Z c 4. ［方法2］依题意构图如右，令OAa, OBb,其中OAOB,作平行四边形ABCD OC OA OB a b -c , c , BA OA-OB a-b 由于alb,则ZA0B90,即平行四边形ABCD为矩形， 又由于0项葺，则CO1BA,所以四边形ABCD为正方形。 aH l, H a-M|V,从而 a\ffff4. 说明主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，要求考生掌握 平面向量的和，差，数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确 地进行运算. 4. （2003年天津卷理4） 0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， AC r 、 的轨迹一定通过AABC 动点P满足。户。4人徽告，人c［0,oo）,则点P 〔网MJ 的（） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 ► ►AB AC 解析（方法1）当入0时，因为4P OF-04 4 告。0 / 、 所以， AP AB 2 、 AC AB ap[\ab\ 网网/ / 、 cos AP, AC AP AC 2 AC AB 、 ap[\ac\ I同U衣H网 / 得到 cosAP,疝cosAP, AC ,所以AP,AB 1, AC 因为A、B、C三点不共线，所以AP平分ZBAC 得到点P的轨迹一定通过AABC的内心.故答案为B A R ► A f1►►►►►► 方法 2 -- ABi. AC1\ABlAClA 其中，ABX AC. 1 网 M 则动点 P SM OP OA 2AI\,A e ［0,oo. 所以，点P的轨迹是由点A出发的射线APi. 由于|ab| |aq| i, IX gX且藉〃亍刀， 所以APi平分ZBAC. 因此，点P的轨迹一定通过AABC的内心.故答案为B. 5. 2002年一文12,理10平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点43,1, 31,3,若点 C 满足OC aOAj3OB,其中oc,/3eR, / ,则点 C 的轨迹方程为. A x l2y 22 5B 3x 2y 11 0 C 2x-y 0D x 2y-5 0 解析［方法 1］设 Cx, j,由题意, y 3,1 -1,3 3z -/3,a 3/3}. 于是 3，①②又2 得 x 2y 50 5 . 于是点C的轨迹方程为x 2y-5 0. ［方法2］已知汤，汤不共线，有OC aOA J3OB ,且其中 / . 因此C点在A,3两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有 虹 匹乏，即x 2v-5 0.故选D. 3-1 -1-3 6. 2006年辽宁卷理12设00,0, Al,0, B0,1,点P是线段上的一个动 点,宏人序，若桥.序2有而，则实数；I的取值范围是 A-21 B 1- 21 C -21 D 1-21 222222 解析如右图所示设Px, 1-x OWxWl,则由OP ABPA PB 得到x, 1-x -1, 1 N 1-x, x-1 -x, x,整理得2x2l,b I 所以 0 V x V ,又由 AP A AB 9 即x1, 1x二入1, 1, 2\Px,l-x n、 故4 l-xe 1,1 , 故选择 B.OTA 2 J1 说明从向量的定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量， 我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又