高考圆锥曲线专题研究
高考圆锥曲线专题研究 1、吃透圆锥曲线的两个定义: 第一定义中要重视限制条件:椭圆中,与两个定点F”七的距 离的和等于常数2a,且2a>皆禹I;当2厂皆禹I时,轨迹是线段%七; 当2。0 ) O侦=切1岫(参 数方程,其中。为参数)。 (2)双曲线:焦点在x轴上:4-4 =10 (参数方 a2 b2 程,其中。为参数)。 (3)抛物线:焦点在x轴正半轴:y = 2px(p>o)o (参 数方程,其中,为参数)。 范例2:①若x.yeR,且3 j + 2丁 = 6 ,则x+y的最大值是, %2 +/ 的最小值是 (答:也2) ② 已知A,B为抛物线y2 = 2px±异于顶点。的两个动点,且 OA±OB,OM±AB于点求动点M的轨迹。 点评:圆锥曲线参数方程的主要功能:①处理最值问题;②求动 点的轨迹问题。 3、掌握圆锥曲线相关的几何性质: 椭圆的几何性质主要体现在:四点(焦点、顶点)四线(准线、 对称轴)两形(焦点三角形、。,上C三边关系三角形)。重点研究:① 离心率;②焦半径;③焦点弦;④弦长公式。 双曲线的几何性质主要体现在:四点(焦点、顶点)六线(准线、 对称轴、渐近线)两形(焦点三角形、。,①C三边关系三角形)。重点 研究:①离心率;②焦半径;③焦点弦;④弦长公式。 抛物线的几何性质主要体现在:一动(动点)三定(定点:焦点, 定直线:准线,定值:离心率e = l) 0重点研究:焦点弦的相关性质。 范例4:①以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最 大值为1时,则椭圆长轴的最小值为—(答:2扼); ② 椭圆—+^-=1内有一点RLT), F为右焦点,在椭圆上有一点 43 M,使岫+ 2M 之值最小,则点M的坐标为(答:(平,-1))。 ③ 设双曲线(a>0,b>0)中,离心率eG [扼,2],则两 a b 条渐近线夹角0的取值范围是(答:[?,9); ④ 已知抛物线方程为夕= ③ 已知双曲线的离心率为2,比、F2是左右焦点,P为双曲线上 一点,且Di即=60°,黑哪=0疗.求该双曲线的标准方程(答: 己 乂 = 1); 4 12 7、圆锥曲线中的弦长问题: 若直线y = kx+b与圆锥曲线相交于两点A (二“2)、B (巧,乃), 则期I = 71花%-耕=『食阮-归;若弦AB所在直线方程设为 x = ky+b ,则 \AB\ = J1 +妒 |巧-乃 |。 弦长求法的一般步骤:①确定直线的斜率;②确定直线方程;③ 直线与曲线联立方程组并转化为一元二次方程,利用韦达定理;④代 入弦长公式。 范例7:①如果椭圆-+^ = 1弦被点A (4, 2)平分,那么这条 36 9 弦所在的直线方程是 (答:x+2_y-8 = 0); ② 已知直线y= — x+l与椭圆£ +《=l(a >8 >0)相交于A、B两点, a b 且线段AB的中点在直线L: x-2y=0上,则此椭圆的离心率为 (答:笠); 2 ③ 试确定m的取值范围,使得椭圆—+ —= 1±有不同的两点关 43 于直线_y = 4x +也对称(答:(一咎,窖)); § ◎§特别提醒:因为A>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验A>0! 8、圆锥曲线中常用方法与重要结论: 2222 (1) 双曲线与-楷=1的渐近线方程为与-4=°; a da b (2) 以y=±^x为渐近线(即与双曲线芬-餐=1共渐近线)的双 22 曲线方程为与-9 =力3为参数,在0) O a b (3) 中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方