高考数学重点难点复习（4）：三个“二次”及其关系

难点4三个“二次”及关系 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的 内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个 “二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方 法. •难点磁场 已知对于x的所有实数值，二次函数犬工)=检—4qx+2q+12(qER)的值都是非负的，求关于x的方程 * =1。一11+2的根的取值范围. 。+ 2 •案例探究 ［例 1］已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=—bx，其中 a、b、c 满足 a>b>c,a+b+c=Q,{a,b,c ER) (1) 求证：两函数的图象交于不同的两点A、B； (2) 求线段A3在x轴上的射影AiBi的长的取值范围. 命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形” 上找解问题的突破口，而忽略了 “数”. 技巧与方法：利用方程思想巧妙转化. (1)证明：由 aX +^x + c 消去,得 ax2+2bx+c-0 y = -bx / =4Z?2一4ac=4(—a — c )2一4ac=4(a 2+ac+cW [(奸；)2+泊 a+b+c=O,a>b>c, a>0,c0,.\』>0,即两函数的图象交于不同的两点. 4 (2)解：设方程ax +bx+c^的两根为%i和也则尤1+式2=———,工1入2= — . a a IAiBi|2=(Xi —工2)2=31+电)2 —4工1尤2 2b ° 4c 4b2 -4ac 4(-a-c)2 -4ac =()=2- =2 a a aa >ir/C\2C1,“/Cl、23_, =4[(一)+ —+ l] = 4[(—+ —) +—] aaa24 a>b>c,a+b+c=0,a>0,c 一a 一c>c,解得 _ £(—2,——) a2 ••• /(-) = 4［(-)2 +- + 1］的对称轴方程是，= a a aa 2 厂1 —仁(一2,— 一)时，为减函数 a2 :.L41BJ2 e (3,12),故L41W £ (的). [例2]已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1 =0. (1) 若方程有两根，其中一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(1, 2)内，求的范围. (2) 若方程两根均在区间(0, 1)内，求的范围. 命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属**★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本 题的难点. 技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的不意图，然后用函数 性质加以限制. 1 m —— 6 解：(1)条件说明抛物线f(x^x-+2mx+2m+l与x轴的交点分别在区间(一1, 0) 和(1, 2)内，画出示意图，得 /(0) = 2/« + 10, / (1) = 4加+ 2 0 5 1 —— 1 + 皿或m 0, b 2a 。顶,)>0 △ = // -4ac > 0, (3)二次方程/U)=0在区间(p,g)内有两根=0, Q・f(p)>0; (4)二次方程川)=0在区间(p,q)内只有一根=为)顼q)v0,或为)=0(检验)或为)=0(检验)检验另一根若 在O，q)内成立. (5)方程危沪0两根的一根大于p,另一根小于q(p0 时，|。+ — lvl£+ — I,当 1V0 时，成) 2a2a (3)当i>0时，二次不等式汽入)>0在\_p.q]恒成立=o. “zo； 2a a 0 恒成乂 u> {或{/(x) A0; •歼灭难点训练 一、选择题 [.(★★★★)若不等式(n — 2).¥2+2(n — 2>—40).若则人加一 1)的值为() A.正数B.负数 C.非负数D.正数、负数和零都有可能 二、填空题 3. (★★★★★)已知二次函数f(x)=4x2—2(p—2>—2p~ —p+1,若在区间[一1, 1]内至少存在一个实数 c,使犬c)>0,则实数p的取值范围是. ^(★★★ ★★)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数X恒有f(2.+x)=f(2. 一 X),若f(l~2x2)