高考数学重点难点复习（4）：三个“二次”及其关系

难点4三个“二次”及关系 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的 内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个 “二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方 法. 难点磁场 已知对于x的所有实数值，二次函数犬工检4qx2q12qER的值都是非负的，求关于x的方程 * 1。一112的根的取值范围. 。 2 案例探究 ［例 1］已知二次函数 fxax2bxc 和一次函数 gxbx，其中 a、b、c 满足 abc,abcQ,{a,b,c ER 1 求证两函数的图象交于不同的两点A、B； 2 求线段A3在x轴上的射影AiBi的长的取值范围. 命题意图本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目. 知识依托解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形” 上找解问题的突破口，而忽略了 “数”. 技巧与方法利用方程思想巧妙转化. 1证明由 aX x c 消去,得 ax22bxc-0 y -bx / 4Z2一4ac4a c 2一4ac4a 2accW [奸；2泊 abcO,abc, a0,c0 Q -c20,.\』0,即两函数的图象交于不同的两点. 4 2解设方程axbxc的两根为i和也则尤1式2,工1入2 . a a IAiBi|2Xi 工2231电2 4工1尤2 2b 4c 4b2 -4ac 4-a-c2 -4ac 2- 2 a a aa ir/C\2C1,“/Cl、23_, 4[一 l] 4[ ] aaa24 abc,abc0,a0,c0 n1 a 一a 一cc,解得 _ 2, a2 /- 4［-2 - 1］的对称轴方程是， a a aa 2 厂1 仁一2, 一时，为减函数 a2 .L41BJ2 e 3,12,故L41W 的. [例2]已知关于x的二次方程x22mx2m1 0. 1 若方程有两根，其中一根在区间一1,0内，另一根在区间1, 2内，求的范围. 2 若方程两根均在区间0, 1内，求的范围. 命题意图本题重点考查方程的根的分布问题，属**★★级题目. 知识依托解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本 题的难点. 技巧与方法设出二次方程对应的函数，可画出相应的不意图，然后用函数 性质加以限制. 1 m 2 m eR, 5 m 6 解1条件说明抛物线fxx-2mx2ml与x轴的交点分别在区间一1, 0 和1, 2内，画出示意图，得 /0 2/ 10, /-1 20, /1 4加 2 0, /2 6; 50 5 1 m 6 2 /00, 2据抛物线与 轴交点落在区间。，1内，列不等式组件。如 0 m 1 1 m , 2 m 1 皿或m 1 V2, 这里0-ml是因为对称轴xm应在区间0, 1内通过 锦囊妙计 1. 二次函数的基本性质 1 二次函数的三种表示法 yabxc;yaxxixx2yaxxfn. 2 当aV3在区间lp,ql上的最大值最小值m,令心。办 b 若一L 9则 fipMqM; 2a bh 若 P 5,则 / MqM; 2a2a bh 若 xoW g,则 m; 2a2a b 若一了 0，则 2a 2.二次方程fxax2bxc0的实根分布及条件. ⑴方程/x0的两根中一根比尸大，另一根比r小・/rvO; ⑵二次方程yxo的两根都大于,u △ Z2 4ac 0, b 2a 。顶,0 △ // -4ac 0, 3二次方程/U0在区间p,g内有两根 b 2a a-fq0, Q・fp0; 4二次方程川0在区间p,q内只有一根为顼qv0,或为0检验或为0检验检验另一根若 在O，q内成立. 5方程危沪0两根的一根大于p,另一根小于qpq。 3. 二次不等式转化策略 ⑴二次不等式兀破2版。式0的解集是8,a]u [,8oqv 0且人a顼0; bh 2a ⑵当 i0 时，|。 lvl I,当 1V0 时，成 2a2a 3当i0时，二次不等式汽入0在\_p.q]恒成立 b T V p, 2a 或 fpo. 或〈2a f-o. zo； 2a a 0,或Ja -b - 0 △ 0「jc0. l一[ Q 0, _p_ \ Cl b 0,k-、. 4/x0 恒成乂 u {或{/x 0恒成立 u A0,c0; 歼灭难点训练 一、选择题 [.★★★★若不等式n 2.22n 240对一切xGR恒成立，则a的取值范围是 A.8,2]B.[-2,2]C.-2,2]D.8,2 2. ** ★★设二次函数 fxxxaa0.若则人加一 1的值为 A.正数B.负数 C.非负数D.正数、负数和零都有可能 二、填空题 3. ★★★★★已知二次函数fx4x22p22p p1,若在区间[一1, 1]内至少存在一个实数 c,使犬c0,则实数p的取值范围是. ★★★ ★★二次函数fx的二次项系数为正，且对任意实数X恒有f2.xf2. 一 X,若fl2x2fl 2x 一检,则x的取值范围是. 三、解答题 5. ★★★★★已知实数t满足关系式log。4 log。与。＞且 好1 a a 1 令tQ求y项x的表达式； 2 若xe0,2］时,y有最小值8