中考数学二轮复习几何计算题选讲
中考数学二轮复习:几何计算题选讲 本资料为word文档,请点击下载地址下载全文下载地 址八.几何计算题选讲 几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推 理为基础的几何量的计算,主要有线段与弧的长度计算、角 和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及 面积、体积的计算,从图形上分类有:三角形、四边形、多 边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有:几何 法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例 例1.如图,在矩形ABcD中,以边AB为直径的半圆。 恰与对边cD相切于T,与对角线Ac交于P,PE±AB于E,AB=10, 求PE的长. 解法一:(几何法)连结。T,则oT±cD,且oT=AB = 5 Bc=oT=5, Ac== •「Be 是。o 切线,.-.Bc2=cPcA. Pc=,AP=cA -cP=. •.•PE〃Bc .,PE= X 5=4. 说明:几何法即根据几何推理,由几何关系式进行求解 的方法,推理时特别要注意图形中的隐含条件. 解法二:(代数法) •PE〃Bc,. 设:PE=x,则 AE=2x, EB=10 - 2x. 连结 PB. VAB 是直径,ZAPB =900. 在 RtAAPB 中,PE±AB, A AP BE A APE. 「.EP=2EB,即 x=2 (10 - 2x). 解得 x=4. A PE=4. 说明:代数法即为设未知数列方程求解,关键在于找出 可供列方程的相等关系,例如:相似三角形中的线段比例式; 勾股定理中的等式;相交弦定理、切割线定理中的线段等积 式,以及其他的相等关系. 解法三:(三角法) 连结 PB,则 BP±Ac .设NPAB= a 在 Rt AAPB 中,AP=10c oS a , 在 Rt AAPE 中,PE=APsin a , PE=10sin a co S a . 在 Rt AABc 中,Bc=5, Ac=. s in a =, coSa = ,\PE=10X=4. 说明:在几何计算中,必须注意以下几点: (1)注意“数形结合”,多角度,全方位观察图形, 挖掘隐含条件,寻找数量关系和相等关系. (2)注意推理和计算相结合,先推理后计算,或边推 理边计算,力求解题过程规范化. (3)注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合 运用. 二.其他题型举例 例2.如图,ABcD是边长为2a的正方形,AB为半圆。的 直径,cE切。。于E,与BA的延长线交于F,求EF的长. 分析:本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形 性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解. 解:连结 oE, .「cE 切。。于 E, AoE ±cF.\ AEFo^ABF c,・,又VoE=AB=Bc, EF=FB 设 EF=x,则 FB=2x, FA=2x-2a •「FE 切。。于 E「.FE2=FAFB,x2 = (2x-2a) 2x 解得 x=a, EF=a. 例3.巳知:如图,Ool与。o2相交于点A、B,且点 ol在。o2上,连心线olo2交。ol于点c、D,交。o2于点 E,过点c作cF ±cE,交EA的延长线于点F,若DE=2, AE= (1) 求证:EF是。。1的切线; (2) 求线段cF的长; (3) 求 tanZDAE 的值. 分析:(1)连结olA, olE是Oo2的直径,olAIEF, 从而知 EF是。。1的切线. (2)由已知条件DE=2, AE=,且EA、EDc分别是。ol的 切线和割线,运用切割线定理EA2=EDEc,可求得Ec= 10,由cF±cE,可得cF是。01的切线,从而Fc=FA.在RtAEF c中,设cF=x,则FE =x+.又cE=10,由勾股定理可得:(x+) 2 =x2+102,解得 x=.即 cF=. (3)要求tanZDAE的值,通常有两种方法:①构造含 ZDAE的直角三角形;②把求tanZDAE的值转化为求某一直 角三角形一锐角的正切(等角转化)•在求正切值时,又有 两种方法可供选择:①分别求出两线段(对边和邻边)的值; ②整体求出两线段(对边和邻边)的比值. 解:(1)连结。1A, VolE 是。o 2 的直径,.-.olAXEF .EF是。ol的切线 (2)VDE=2, AE =,且EA、EDc分别是。。1的切线和 割线 .•.EA2=EDEc, .\Ec=10 由c F±cE,可得cF是。。1的切线,从而Fc=FA .在 RtAEFc中,设cF=x,则FE=x+.又cE=10,由勾股定理可得: (x+) 2=x2+l 02,解得 x=,即 cF=. (3)解法一:(构造含ZDAE的直角三角形) 作DGXAE于G,求AG和DG的值.分析已知条件,在 RtAAolE中,三边长都已知或可求(ol A=4, olE=6),又DE=2, 且DG/ZAol (因为DG1AE),运用平行分线段成比例可求得 D G二从而 tanZDAE二. 解法二:(等角转化) 连结Ac,由EA是。。1的切线知ZDAE=ZA cD,只需求 tanZAc D.易得ZcAD=900 ,所以只需求的值即可.观察和分 析图形,可得z^AD E°°AcAE,,从而 ta nZAcD=,即 tanZ DAE=. 说明:(1)从已知条件出发快速地找到基本图形,得到 基本结论,在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本 题(2 )求cF的长时,要能很快地运用切割线定理,先求出 cE的长. (2)方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法, 要熟练地掌握. 例4.如图,已知矩形ABcD,以A为圆心,AD为半径的 圆交Ac、AB于m、E, cE的延长线交。A于F, cm=2, A B=4. (1) 求。A的半径; (2) 求cF的长和AAFc的面积. 解:(1) V 四边形 ABcD 是矩形,.\cD=AB=4,在 RtZXAcD 中,Ac2 二CD2+AD2,「・(2 +AD) 2=42+AD2 ,解得 AD=3. (2) A 作 AG_LEF 于 G. •「BG=3, BE=AB-AE=L A cE= 由 cEcF=cD2 ,得 cF二.又 V ZB=ZAGE=900, ZBEc=ZGEA, A ABcE^AGAE. ,即 SAAF c=cFA G=. 例5 .如图,AABc 内接于。o, Bc=4 , SAABc=, ZB 为 锐角,且关于X的方程x2 - 4xcosB+l=0有两个相等的实数 根.D是劣弧Ac上的任一点(点D不与点A、c重合),DE平 分ZADc,交。。于点E,交Ac于点F. (1) 求ZB的度数; (2) 求c E的长. 分析:本题是一道综合了代数知识的几何计算题,考察 了圆的有关性质,解题时应注意线段的转化. 解:(1) I.关于x的方程x2 - 4xcosB+l=0有两个相等 的实数根, A = (-4cosB ) 2-4=0. /. c