经济数学(上)总复习与综合练习
经济数学(1)微分学部分复习要求与综合练习 第1章函数 1. 理解函数概念。 理解函数概念时,要掌握函数的两要素——定义域和对应关系,这要解决下面 四个方面的问题: (1)掌握求函数定义域的方法,会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义 域就是使函数有意义的自变量的变化范围。学生要掌握常见函数的自变量的变化范 围,如分式的分母不为0,对数的真数大于0,偶次根式下表达式大于0,等等。 (2)理解函数的对应关系/■的含义:f表示当自变量取值为x时,因变量y的取 值为g (3)会判断两函数是否相同。 从函数的两个要素可知,两个函数相等,当且仅当他们的定义域相同,对应规 则相同,而与自变量或因变量所用的字母无关。 (4)了解分段函数概念,掌握求分段函数定义域和函数值的方法。 2. 掌握函数奇偶性的判别,知道它的几何特点。 判断函数是奇函数或是偶函数,可以用定义去判断,即 (1)若 /(-%) = /(%),则 /(%)为偶函数; (2)若 /(-x) = -/(%),则 f(x)为奇函数。 也可以根据一些已知的函数的奇偶性,再利用“奇函数土奇函数、奇函数X偶函数 仍为奇函数;偶函数土偶函数、偶函数X偶函数、奇函数X奇函数仍为偶函数”的性质 来判断。 3. 了解复合函数概念,会对复合函数进行分解。 4. 知道初等函数的概念,牢记常数函数、幕函数、指数函数、对数函数和三角 函数(正弦、余弦、正切和余切)的解析表达式、定义域、主要性质及图形。 基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质及图形在微积分中常要用到, 一定要熟练掌握。 5. 了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。 6. 会列简单应用问题的函数表达式。 第2章极限、导数与微分 1. 掌握求简单极限的常用方法。 求极限的常用方法有 (1)利用极限的四则运算法则; (2)利用两个重要极限; (3)利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量); (4)利用连续函数的定义。 (5)利用洛必塔法则。 2. 知道一些与极限有关的概念 (1)知道数列极限、函数极限、左右极限的概念,知道函数在某点极限存在的 充分必要条件是该点左右极限都存在且相等; (2)了解无穷小量的概念,了解无穷小量与无穷大量的关系,知道无穷小量的 性质; (3)了解函数在某点连续的概念,知道左连续和右连续的概念,了解“初等函 数在定义区间内连续”的结论;会判断函数在某点的连续性,会求函数的间断点。 3. 理解导数定义。 理解导数定义时,要解决下面几个问题: (1)牢记导数定义的极限表达式; (2)会求曲线的切线方程; (3)知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续,连续的函数不一定可导)。 4. 熟练掌握求导数或微分的方法。 具体方法有: (1)利用导数(或微分)的基本公式 (2)利用导数(或微分)的四则运算法则 (3)利用复合函数微分法 (4)利用隐函数求导法则 5. 知道高阶导数概念,会求函数的二阶导数。 第3章导数的应用 1. 掌握函数单调性的判别方法,掌握极值点的判别方法,会求函数的极值。 通常的方法是利用一阶导数的符号判断单调性,也可以利用已知的基本初等函 数的单调性判断。 2. 了解一些基本概念。 (1)了解函数极值的概念,知道函数极值存在的必要条件,知道函数的极值点 与驻点的区别与联系; (2)了解边际概念和需求价格弹性概念; 3. 熟练掌握求经济分析中的应用问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大 等),会求几何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法,会计算需求弹性。 综合练习 一、单项选择题 1. 的定义域是( C. x > 0 中的两个函数相等. D. r2 -1 B. f(x) =,幺(尤)=尤+1 x-1 D. f(x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1 C. 2D. -2 ( )・ A. x> —1B. x^O 2. 下列各函数对中,() A. /(x) = (Vx)2, g(x) = x C. y = ]nx2, g(x) = 21nx 3. limfl-Z]=()・ x) A. 1 B. -1 4. 下列函数中为奇函数的是 A. y = ]nxB. y = cx +e-x C. ^ = xcosxD. y = x(x + l) 5. 已知/(x) = xsin—,当()时,f(对为无穷小量. x A. x -> 0 B. nl C. X —> —00 D. X-^+00 6.当XT+O0时,下列变量为无穷小量的是( *2. 2 ) sin x A.—— X+ 1 B. ln(l + %) 3 sinx八 ,x^O X k, x = 0 C. xsin — X D. X 7.函数/(%) = ■ 在x = 0处连续, 则k=( ). A. -2 B. -1 C. 1D. 3 8.曲线y =- 二1=在点 (0, 1)处的切线斜率为( ). + 1 1 1 八1c 1 A R rd 2 . 2 2j(x + l)3 2&x + l) 9.曲线y = sinx在点(0, 0)处的切线方程为(). A.y =xB.y = 2x C.y: 1 二—x 2 D.y = -x 10. 设 y = 1g 2x ,则 dy =( ). 1 1 In 10 . 1 t A. ——AxB. dx C. dx D. —Ax 2xxlnlO X X 11. 下列函数在指定区间(*,*»)上单调增加的是(). A. sinx B. e* C. x 2+2D. 3 - x 12. 设需求量g对价格p的函数为q(p) = 3-馈,则需求弹性为毋=(). 二、填空题 1. 函数/(x) = ln yjl + x2的复合过程是. 2. 函数 f(x) = ln(2x — 1)—的定乂域是. Vl-x2 3. 若函数/(%) =的间断点是. (尤+1)3+2) 1—/ 4. 设f(x) = =,则函数的图形关于对称. 1 + X 5. 已知生产某种产品的成本函数为C0) = 8O +2q,则当产量0 = 50时,该产品 的平均成本为. 6. 巳知某商品的需求函数为0=180-4p,其中p为该商品的价格,则该商品的 收入函数R(q) =• —2 7. lim(l + x)x =, 已知/ (》)=1-业,当 时,了(X)为无穷小量. Y V- 1 9. 已知f(x) = < x-1,若/*(尤)在(-00, + 00)内连续,贝睑=. ax = l 10. 曲线y=-在点(1, 0)处的切线斜率是. X 11. 函数y = X2 -2x的驻