实际问题与二次函数知识讲解基础
实际问题与二次函数—学问讲解(基础) 实际问题及二次函数—学问讲解(基础) 【学习目标】 1.能运用二次函数分析和解决简洁的实际问题,培育分析问题, 解决问题的实力和应用数学的意识. 2.阅历探究实际问题及二次函数的关系的过程,深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 【要点梳理】 要点一, 列二次函数解应用题 列二次函数解应用题及列整式方程解应用题的思路和方法是一样的,不同的是,学习了二次函数后,表示量及量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要留意以下步骤: (1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量及变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系). (2)设出两个变量,留意分清自变量和因变量,同时还要留意所设变量的单位要精确. (3)列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数. (4)按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际:即是否为所提问题的答案. (6)写出答案. 要点诠释: 常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润, 最大面积, 最小周长等), 涵洞, 桥梁, 抛物体, 抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式. 要点二, 建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤:(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;(5)利用关系式求解问题. 要点诠释: (1)利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式, 内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去探讨问题.在探讨实际问题时要留意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习,应由低到高处理好如下三个方面的问题: ①首先必需了解二次函数的基本性质; ②学会从实际问题中建立二次函数的模型; ③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型例题】 类型一, 利用二次函数求实际问题中的最大(小)值 1.(2015•东海县二模)“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品,试销一阶段后发觉,该商品每天的销售量y(件)及售价x(元/件)之间的函数关系如图(20≤x≤60): (1)求每天销售量y(件)及售价x(元/件)之间的函数表达式; (2)若该商品每天的利润为w(元),试确定w(元)及售价x(元/件)的函数表达式,并求售价x为多少时,每天的利润w最大?最大利润是多少? 【思路点拨】 (1)分别利用当20≤x≤40时,设y=ax+b,当40<x≤60时,设y=mx+n,利用待定系数法求一次函数解析式即可; (2)利用(1)中所求进而得出w(元)及售价x(元/件)的函数表达式,进而求出函数最值. 【答案及解析】 解:(1)分两种状况:当20≤x≤40时,设y=ax+b, 依据题意,得, 解得, 故y=x+20; 当40<x≤60时,设y=mx+n, 依据题意,得, 解得,故y=﹣2x+140; 故每天销售量y(件)及售价x(元/件)之间的函数表达式是: (2), 当20≤x≤40时,w=x2﹣400, 由于1>0抛物线开口向上,且x>0时w随x的增大而增大,又20≤x≤40, 因此当x=40时,w最大值=402﹣400=1200; 当40<x≤60时,w=﹣2x2+180 x﹣2800=﹣2(x﹣45)2+1250, 由于﹣2<0,抛物线开口向下,又40<x≤60, 所以当x=45时,w最大值=1250. 综上所述,当x=45时,w最大值=1250. 【点评】1.读懂题意,弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键; 2.在实际问题中遇到最大(小)值问题时,往往先建立函数关系式,然后通过配方化为顶点式求解. 举一反三: 【变式】(2015•营口)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发觉:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大. 【答案】22. 【解析】 解:设定价为x元, 依据题意得:y=(x﹣15)[8+2(25﹣x)] =﹣2x2+88x﹣870 ∴y=﹣2x2+88x﹣870, =﹣2(x﹣22)2+98 ∵a=﹣2<0, ∴抛物线开口向下, ∴当x=22时,y最大值=98. 故答案为:22. 类型二, 利用二次函数解决抛物线形建筑问题 2.如图所示,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系. (1)干脆写出点M及抛物线顶点P的坐标; (2)求这条抛物线的解析式; (3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB,使C, D点在抛物线上,A, B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少 【答案及解析】 (1)M(12,0),P(6,6). (2)设抛物线解析式为:. ∵ 抛物线经过点(0,0), ∴,即. ∴ 抛物线解析式为:,即. (3)设A(m,0),则B(12-m,0),C,D. ∴ 支撑架总长 . ∵ 此二次函数的图象开口向下. ∴ 当m=3时,。AD+DC+CB有最大值为15米. 【点评】依据题意设抛物线解析式为顶点式,又抛物线经过原点,不难求出其解析式,设A(m,0), 用含m的式子表示支撑架总长AD+DC+CB,依据函数性质求解. 类型三, 利用二次函数求跳水, 投篮等实际问题 3.某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时,身体(看作一点)在空中的运动路途是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常状况下,该运动员在空中最高处距水面m,入水处距池边的距离为4 m,同时,运动员在距离水面高度为5m以前,必需完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿态,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的关系式; (2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路途是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿态时,距池边的水平距离为m,问此次跳水会不会失误并通过计算说明理由. 【答案及解析】 (1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B,抛物线的关系式为. 由题意知,O, B两点的坐标依次为(0,0),(2,-10),且顶点的纵坐标为. ∴ 解得 或 ∵ 抛物线对称轴在y轴右侧,∴, 又∵ 抛物线开口向下, ∴ a<0,b>0,∴,,c=0. ∴ 抛物线关系式为. (2)当运动员在空中距池边的水平距离为m时,即 时,. ∴ 此时运动员距水面的