课时作业梯级练七十七证明不等式的基本方法
课时作业梯级练七十七证明不等式的基本方法 1. 已知 a>0, b>0, c>0,且 a+b+c=l. 求证:a2+fa2+c2^j . 【解析】因为 a2+b2^2ab, b2+c2^2bc, c2+a2^2ca,所以 a2+b2+c2^ab+bc+ca,因为(a +b+c)2=l,所以 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=l,所以 3(a2+b2+c2)^l,即 a2+b2+c2^^ . 2. 设。1,02,。3均为正数,且肉+。2 +。3 =小, 1119 求证:云+房+瓦日鬲• 【解析】因为(“+~+~^) , m = (ai+a2+u3)-(~ +~ +~ )^3^/ai • a2 9 a3 . 当且仅当ai=a2=a3=y时,等号成立, 1119 又 m>0,所以;7 +~ +—. □1。2。3 m 3. (2020-大庆模拟)设a, b, c均为正数. (1)证明:a2+b2+c2^ab+bc+ca; ⑵若 ab+bc+ca=l,证明:a+b+cN也. 【解析】⑴因为a, b, c均为正数,可得a2+b2^2ab, b2+c2^2bc, c2+a2^2ca, 以上三式相加可得 a2+b2+b2+c2+c2+a2^2ab+2bc+2ca,即 a2+b2+c2^ab+bc+ca. ⑵因为 ab+bc+ca=l,由⑴可知 a2+b2+c2^l, ik(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca. = a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)^l + 2 = 3. 所以a+b+cN“得证. 4. (2019-全国I卷)已知s b, c为正数,且满足abc=。,证明: 111■rr (1)- +B +z ^o2+b2+c2. (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3^24. 【证明】⑴因为 a2+b2^2abj b2+c2^2bc, c2+a2^2ac,又 abc=l,故有 a2+b2+c2^ab+ ab+bc+ca 111 bc+ca=—=a +B +Z • 当且仅当a=b=c时,取等号. 111 所以一 +7; +一 ^a2+b2+c2. a b c (2)因为a, b, c为正数且abc=l, 故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 (a+b) 3 (b+c) 3 (a+c) 3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) ^3X(2y[ab )X(2\[bc )X(2\[ac ) = 24. 当且仅当a=b=c时,取等号. 所以(a+b)3 + (b + c)3+(c+a)3^24. 1 1 5. 已知函数f(x)= x~2 + x+- , M为不等式f(x)a2+b2f 即 a2b2+l+2ab>a2+b2+2ab, 即(ab+l)2>(a+b)2f 即\a+b\0, b>0, a+b=2, “°2 fa2 所以E +~b+l -1 cP (b+1) +/)2 (a+1) —(a+1) (b+1) 一(a+1) (b+1) a^b + aZ+g+r—ab — a—b—1 =(a+1)~~(b+l) 尸+^+湖(a+b) —ab— (a+b) —1 (a+1)~(b+1) 。2+82+2沥一沥一3 =~(b+() (a+b) 2—3 一 沥 =~(b+1) l — .b =~(b+1) . 因为 a+b = 2^2\[ab , 所以abWl. ~1 —ab 所以(a+1) (b+1) “°2 b2 所以箱+航万 7. 设a, b, c均为正数,a+b+c=l,证明: ⑴ab+bc+acW^ ; c2 b2 a2 (2)3 +7 +~b 万 【证明】⑴由 a2+b2^2ab,屏+明 l2bc, c2+a2^2ac 得。2+/)2+由 ^ab+bc+ac. 由题设得(a+b+c)2=l, 即 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=l, 1 所以 3(ab+bc+ac)Wl,即 ab+bc+ac^^ . 小,疽b2c2 (2)因为方 +bN2a, — +cN2b, ~ +aN2c, c2 b2 a2 所以指 +— +习 +(a+b+c)N2(a+b+c), a2 b2 c2a2 b2 c2 即万+7 +7习+b+c,即石+7 +-习・ b 8. 已知 a>0, b>0,函数f(x)=|2x+a|+2 x—; +1 的最小值为 2. (1)求a+b的值; ⑵求证:a+log3(j+^ N3—b. 【解析】(1)因为 T(x)= |2x+a| + \2x-b\+l^\2x+a-(2x~b) | +1= |a+b| +1, 当且仅当(2x+a)(2x—b)WO时,等号成立, 又 a>0, b>0,所以\a+b\ =a+b, 所以/(x)的最小值为a+b+l = 2,所以a+b=l. .职湖尊主 lug • & u Hq+OM jlhIcs部 EM 部^Hl-lo7z+Lr>A\s+io+iz + th(l-Q-+J3(g+o)HI-Q+|0式矢 es寸 q Dl