课时跟踪检测(二) 导数的几何意义
课时跟踪检测(二) 导数的几何意义 一、题组对点训练 对点练一求曲线的切线方程 1. 曲线y=x=lim[3+3(Ax) + (Ax)2] = 3, 切线的方程为j-12=3(x-l). 令 x=0 得 y=12—3=9. 求曲线户!在点G,2)的切线方程. 1 1 一Av x+Ax x—11 解:因为扩=的 S=1四A* =蚂 所以曲线在点G,2)的切线斜率为k=y lx=^=—4. 故所求切线方程为y~2=—4(x—^,即4x+j—4=0. 对点练二求切点坐标 若曲线y=x2+ax+b在点(0,方)处的切线方程是x—y+l=Qf则() A. a=l9 b=lB. a= — l9 b=l D. a=——I, b=——1 解析:选A I•点(0,力)在直线x-j+l=0±, :.b=l. ,(x+Ax)2+a(x+Ax)+l—x2—1 又扩=Jim 1』―-一77=2并。, 过点(0,方)的切线的斜率为|*=o=a=l. 4.已知曲线j=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P坐标为 解析:设 P(xo,2x?+4xo), +ll在点(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是() A. -9B. -3C. 9D. 15 „,.* Av (l+zkx)3+ll—12 解析:选C •.•切线的斜率*=lim ^=lim 土 C. a=l, b= — l Ax l+3-Ax+3,(Ax)2+(Ax)3 1 3。)=婀 Axo+Ax)-Axo)=1.m AXAx-0 2(Ax)2+4xo Ax+4 Ax Ax =4xo+4, 又,:f (x0)=16, .,.4x0+4=16, .•.xo=3, /.P(3,30). 答案:(3,30) 5. 曲线)=处)=*2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标. ⑴平行于直线j=4x-5; (2) 垂直于直线2x—6j+5=0; (3) 切线的倾斜角为135°, 解:f 3)=® Rx+Ax)—/(x) Ax =2x, 设P(xo,刘)是满足条件的点. ⑴切线与直线y=4x-5平行,A2xo=4, .\x0=2,刘=4,即P(2,4),显然P(2,4)不在 直线j=4x—5上,二符合题意. (2) 切线与直线 2x—6j+5=0 垂直,.璀却我一1, .•.xo=—|, jo=|,即 |, 3 (3) L•切线的倾斜角为 135。,其斜率为一 1,即 2x0=-l, .-.xo=-|,jo=|,即 4一!,{I- 对点练三导数几何意义的应用 6. 下面说法正确的是() A. 若f (xo)不存在,则曲线j=/(x)点(xo, /(xo))处没有切线 B. 若曲线了 =/U)在点(xo, _/Uo))处有切线,则f (xo)必存在 C. 若f (xo)不存在,则曲线j=/(x)在点(xo,犬血))处的切线斜率不存在 D. 若曲线y=f(x)在点(xo, /(xo))处没有切线,则f (xo)有可能存在 解析:选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(xo,刈)处有导数,则切线一定 存在,但反之不一定成立,故A, B, D错误. 7. 设曲线y=f(x)在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线() A.垂直于x轴B.垂直于y轴 C.既不垂直于x轴也不垂直于》轴D.方向不能确定 解析:选B 由导数的几何意义知曲线犬x)在此点处的切线的斜率为0,故切线与)轴垂 直. 8. 如图所示,单位圆中孤AB的长为x,处)表示弧48与弦48所 围成的弓形面积的2倍,则函数y=J[x)的图象是() 解析:选D 不妨设A固定,B从4点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x很小,即弧4B 长度很小,这时给x—个改变量Ax,那么弦4B与弧48所围成的弓形面积的改变量非常小, 即弓形面积的变化较慢;当弦接近于圆的直径时,同样给x—个改变量Ax,那么弧48 与弦A8所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快;从直径的位置开始,随 着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢.由上可知函数y=f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知 D正确. 9.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f (x)的图象可能是(填序号). 解析:由y=f(x)的图象及导数的几何意义可知, 当 x0,当 x=0 时,f (x) =0,当x>0时,f (x)0,而犬a+l)-/(a)=贝苗号半表示(a, /(a))与(a+1, f(a+l))两 点连线的斜率,且在r (a)与r (a+1)之间.:.0