课时跟踪检测(二十七)直线与椭圆的位置关系
课时跟踪检测(二十七)直线与椭圆的位置关系 [A级基础巩固] 1. 已知直线/过点(3, -1),且椭圆C:亲+专=1,则直线Z与椭圆C的公共点的个 数为() A. 1B. 1 或2 C. 2D. 0 3? ( —1)2 详细分析:选C因为直线过定点(3, — 1)且云+—77—Z>>0),直线I经过椭圆的一个顶点和 一个焦点,不妨设直线方程为^+j=l.V椭圆的中心到,的距离为其短轴长的% =S,即4=力2 .*•71=3, a 2C =3, •••e=j=§故选 B. 22 5. 已知椭圆方+方=1(口>/>>0)的一条弦所在的直线方程是xr+5=0,弦的中点是 肱(一4, 1),则椭圆的离心率是() B也 B・2 靛 “ 5 详细分析:选C 设直线x—y+5=0与椭圆相交于A(xi, ji), B(xi9 jz), 则 Xl + X2=—8, Jl+j2 = 2, 直线Q的斜率人=无亍1 f (X1+X2) (X1 —X2)(Jl+j2) (Jl—J2) 何+ g =°, . )1 一,2 _册 乂1+乂2. b^_l .故选c. •*xi—X2— a2 yi+yi~,••砂一. 故椭圆的离心率e=Z= 22 6. 过椭圆于+普=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 详细分析:过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为2“=4;最短弦为垂直于长轴的弦, 乂2 y.21 2y.293 因为C=l,将X= 1代入得/+彳=1,解得,2=方,即J=±- 所以最短弦的长 3 为 2X-=3. 答案:4, 3 7.已知直线Z: y=kx+l与椭圆y+j2=l交于M, N两点,且|4/闭=箕—,则k= 详细分析:设 M(X1, J1), N(X2, J2), y=kx+l, 由,消去)并整理得(l+2*2)x2+4*x=0, y+j2=l 4k 所以 乂1 + 乂2=_] + 2矽,X1X2 = O. d\[232 由 \MN\= 3 ,得(xi—x2)2+(yi — J2)2=~^~, 所以(1+k2)(xi—X2)2=^, 32 所以(1 + A:2)[(xi + X2)2 ~ 4X1X2] =~Q~9 即(1+吒妾)=孕 化简得A4+矽一2=0,所以k2=l,所以k=+l. 答案:±1 22 8. 过椭圆§+;= 1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A, 8两点,。为坐标 原点,则△OAB的面积为. 详细分析:由题意知,右焦点的坐标为(1, 0), 22 直线的方程为j=2(x—1),将其与§+十=1联立,消去y,得3x2—5x=0. 设 A(X1, Jl), B(X2, J2),则 Xl + x2=|, X1X2 = O, 所以\AB\=\ll+k2 • |*1-“=寸1+22>方>0)过点(0, 4),离心率为孑 ⑴求椭圆C的方程; (2)求过点(3, 0)且斜率为§的直线被椭圆C所截线段的中点的坐标. 解:⑴将(0, 4)代入椭圆C的方程得普=1, .,./>=4. r c 3 ,^-b1 9”, 16 9 又°=板=夺待二^=药,即1 一渗=赤, 22 .・.q=5, .I椭圆。的方程为土+专=1. m J.O 44 (2)过点(3, 0)且斜率为g的直线方程为j=g(x-3). 设直线与椭圆C的交点为4(X1, J1), 8(X2,力), 4乂2 3)2 将直线AB的方程j=J(x-3)代入椭圆C的方程,得圭+ n =1,即x2-3x-8 =0,则 X1 + X2 = 3, X1+X2 3^ y 1+*2_6) = _§,即所截线段中点的坐标为g, —g. 10.如图,已知椭圆W+若=1(。对>0), Fl,『2分别为椭圆的左、 右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.—\—* ⑴若/FiAB=90°,求椭圆的离心率; ⑵若椭圆的焦距为2,且床=2祯,求椭圆的方程. 解:⑴若ZFiAB=90°,则/\AOFz为等腰直角三角形.所以有|。4|=|0刊|,即b=c. 所以 a=\f2c, e=:=乎. (2)由题知 A(0, b), F2(l, 0),设 B(x, v), a2=3,力2=2, 由AFi=2F^,解得 x=5, j = /房 2 - 2 X- a 入 。-2, = 册一4_朋 +- 9- 4 -a2 得 -2 940 即 22 所以椭圆方程为¥+斗=1. [B级综合运用] 22 11.已知椭圆C:方+右=1(泓>0)及点B(0, a),过点B与椭圆相切的直线交x轴的 负半轴于点A, F为椭圆的右焦点,则匕4时等于() A. 60°B. 90° C. 120°D. 150° 详细分析:选B 由题意知,切线的斜率存在,设切线方程为》=fcc+a(A>0),与椭圆 (y=kx+a9 方程联立得[立+._1 消去 7,整理得(b2+a2k2)x2+2a3kx+a4-a2b2=Q,由 A=4a6k2~4(b2 +a2fc2)*(a4—a2b2) = 0,得k=~,从而y=~x+a.因为直线交x轴的负半轴于点A,所以 0).又 F(c, 0),所以 M=(-% -a), BF=(c, ~a),则 M • BF=0, it Z ABF =90°,故选 B. 12.(多选)1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”, 从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律: 卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从 面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相