课时跟踪检测(八)空间中点、直线和平面的向量表示
课时跟踪检测(八)空间中点、直线和平面的向量表示 [A级基础巩固] 1.若4(0, 2, 1), 8(3, 2, 一 1)在直线,上,则直线,的一个方向向量为() A. (—3, 0, —6) (9, 0, -6) B. (-2, 0, 2) (-2, 1, 3) 详细分析:选 B ~AB=(3, 0, -2)=|(9, 0, -6),故选 B. aJpaa. ab 2.侈选)若顽是平面的法向量,且四边形ABCD为菱形,则以下各式成立的 B. -R4 ± CD D.TCI AB 详细分析:选ABC 由题意知削J_平面ABCD,所以以 与平面内的线AB, CD都垂 直,A、B正确;又因为菱形的对角线互相垂直,可推得对角线BD1.平面削C,故PC_L8D, C选项正确. 3.已知平面内的两个向量a=(2, 3, 1), b=(5, 6, 4),则该平面的一个法向量为() A. (1, -1, 1) B. (2, -1, 1) C. (-2, 1, 1) D. (-1, 1, -1) 详细分析:选C 显然a与b不平行,设平面的法向量为n=(x, j, z), a・n=0,[2x+3j+z=0, 则有4即 ,, b-n=0,[5x+6j+4z=0. 取 z=l,得 x=—2, _y=l. .•.n=(—2, 1, 1). 4.已知平面a内有一个点A(2, -1, 2), a的一个法向量为n = (3, 1, 2),则下列各 点中,在平面a内的是() A. P(l, -1, 1)B. Q(L 3, I) C. 协,-3, DD. 乂-1, 3, -9 详细分析:选 B 对于 B, ~AQ=^~1, 4, —3,贝 ]n-Ag=(3, 1, 2)(—1, 4, —§) =0, .•.n±A0,则点。(1, 3,直)在平面仪内・ 5.(多选)若直线I的方向向量为m,平面a的法向量为n,则不可能使l//a的是() A. m=(l, 0, 0), n=(-2, 0, 0) B. m=(l, 3, 5), n=(l, 0, 1) C. m=(0, 2, 1), n=(-l, 0, -1) D. m=(l, -1, 3), n=(0, 3, 1) 详细分析:选ABC 若/〃a,则需m±n,即m-n=0,根据选择项验证可知:A中, m-n=—2; B 中,m-n=6; C 中,m-n= —1; D 中,m・n=0,故选 A、B、C. 6. 已知直线Zi的一个方向向量为(-5,3,2),另一个方向向量为(x,y,8),则x= J=• 详细分析:•直线的方向向量平行, •工=区=冬 •,-5-3-2, . .x= ~20, y=12. 答案:-20 12 7. 棱长为1的正方体ABCD-AxBiCiDi在空间直角坐标系中的位置 如图所示,则直线的一个方向向量为.A, 详细分析:由题意知Z>(0, 0, 0), Bi(l, 1, 1),所以痼=(1, 1, A 1),即直线DBi的一个方向向量是(1, 1, 1)./ 答案:(1, 1, 1)(答案不唯一) 8. 已知向量 b=(—2, 1, 1),点 A(-3, -1, 4), B(~2, ~2, 2),若在直线 AB 上, 存在一点E,使得旅1b(。为原点),则E点的坐标为. 详细分析:7)E=~OA-^r~AE=~OA+tAB ={-?>, 一 1, 4)+«1, —1, 一2) = (—3+“ -1-t, 4-2/),因为旋_Lb,则~OE • b=0,所以一2(-3+0+(-l-Z)+(4-2Z)=0, 解得£=芝,因此存在点E,使得况_Lb,此时E点的坐标为(一§, -y, g. 答案:5) 9. 如图,在三棱台 ABC-AiBiCi 中,AB=2AiBi, BiD=2DCi, CE.c, =EC1,设而=a, ~AC=b9款=C,以{a, b, C}为空间的一个基底,求直线AE, AD 的一个方向向量. 解:~AD =AAl+A^D=A^+A^Ci + ClD=AAl+A^Cl+^Bi =AA1+|aC +|QaB —I =^AB +^AC +AAi =^a+^b+c, 所以直线AD的一个方向向量是£a+?b+c. o J ~AE = AC +~CE = AC +|cG =AC +|(^CA+|aC) 31 所以直线AE的一个方向向量为Tb+^C. 10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,J_平面ABCD, E为PD的中点,AB=AP=1, AD=g 试建立恰当的空间直角坐标系,p 求平面ACE的_个法向量,f 解:因为B4_L平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB, AD, AP两两垂直. 如图,以4为坐标原点,48所在直线为x轴建立空间直角坐标系 叔z,则 4(0, 0, 0), Z>(0,甫,0), E(0, *, 9, 8(1, 0, 0), C(l, g 0),于是本=(o,平,;),AC=(1,也 0).〜 设n = (x, y, z)为平面ACE的法向量,贝0 n-AC=O, x+g=0, 即〈也1 V\- AE =0,2‘+于=°, \x=—^3>y, 所以 r lz=—n3j, 取j= —1,则x=z=y[3.所以平面ACE的一个法向量为n=(-\/3, —1, a/3). [B级综合运用] 11. 己知已(1, 1, 0), B(l, 0, 1), C(0, 1, 1),则平面ABC的一个单位法向量是() A. (1, 1, 1)B.(乎 平,尊) C0 ? 3D.序辛,书 详细分析:选B 设平面的法向量为n=(x,z),又而 =(0, -1, 1), BC = (-1, 1, 0), AB • n = —j+z=0, 则,_> BC , n=—x+j=0. .-.x=j=z,又•.•单位向量的模为1,故只有B正确. 12. (多选)已知平面 a 内两向量 a=(L 1, 1), b=(0, 2, -1),且 c=ma+〃b+(4, -4, 1),若C为平面a的一个法向量,则() A. m= — \B. m=l C. 〃=2D. n = —2 详细分析:选 AC C=ma+nb+(4, —4, l)=(m, m9 m)+(0, In,) + (4, —4, c・a=o, l) = (m+4, m+2n—4, m—n+1),由C为平面a的一个法向量,得< c-b=0, m+4+m+2M—4+m—n+l = 0,\m= — l, 得<解得, 〔2 (m+2n—4) — (m—n+1) =0,[n=2. 13. 巳知空间直角坐标系Qx兴中的点4(1, 1, 1),平面0过点A并且与直线。4垂直, 动点P(x, j, z)是平面仪内的任一点,则直线。4的一个方向向量为,点P的坐标 满足的条件为・ 详细分析:由题意知,OA± a,直线