课时跟踪检测(二十四) 椭圆的几何性质(二)
课时跟踪检测(二十四) 椭圆的几何性质(二) [A级基础巩固] 1. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(L 0),离心率等于?,则C的方程是() 详细分析:选D 右焦点为F(l, 0)说明两层含义:椭圆的焦点在x轴上;c=l.又离心 率为 ,故a=2, b2=a2—c2=4—l=3,故椭圆的方程为斗+《=1. 2.已知椭圆专+若=l(a>Z»>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且 轴,直线AB交y轴于点P, ^AP=2PB,则椭圆的离心率是() A.平B.平 C. TD. T 详细分析:选 D 如图, :^P=2PB , :.OA=2OF, :.a=2c, .*.e=| . 3. F是椭圆的左焦点,A, B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点,P是椭圆上 一点,且PFlx轴,OP//AB,那么该椭圆的离心率为() 1- 2 详细分析:选A 也4 B. 垂2 D. 如图所示,设椭圆的方程为亓+春=l(a>b >0), P(—c, m). ^OP//AB, :.4PFOs4bOA, 又;P(~C,在椭圆上, .•诲+苏=1,② 2「2 将①代入②得诙=1, 即^2=2,奇=# ,故选A. 4. 阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆 的面积公式,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为s们则椭圆的面积公式为S=E若 椭圆C的离心率为平,面积为8死,则椭圆的C的标准方程为() A. 亲 +4 =1 或# + 专=1 B. 希 +£ =1 或# + 莞=1 C. 羞 +§ =1 或# + 专=1 D. 书+号=1或寻+# =1 g=4, 解得E=2, C=2 甫, c ^3 a= 2 9 详细分析:选a由题意< l , fiTT n ab—8 n , ^a2=b2+c2, 椭圆方程为尚+十=1或专+于=1,故选A. 5. (多选)2020年11月28日,“嫦娥五号”顺利进入环月轨道,其轨 道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月 球表面最近的点)距离月球表面m千米,远月点8(离月球表面最远的点)距 离月球表面“千米,A8为椭圆的长轴,月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长,焦距分 别为2a, 2c,则下列结论正确的有() A. a m+n =2 m+n =2 +R n—m 2 D. c n—m 2 +R 详细分析:选BC 由题意可知2a=2R-\-m+nf +R,因为 a-c=R+ fl—m m, a+c=R+n,所以 c=—-—,故选 B、C. 乙 6. 已知椭圆C:号+子=1的一个焦点为(2, 0),则C的离心率为. 详细分析:不妨设。>0,因为椭圆C的一个焦点为(2, 0),所以c=2,所以次=4+4 =8,所以a=2\[2 ,所以椭圆C的离心率e=— = ^ . Cl Z 答案:乎 7. 若椭圆g +普=1(«>*>0)的离心率为半,短轴长为4,则椭圆的标准方程为 Cl D匕 q=4, .c = 2g 详细分析:由题意可知。=三=申,2力=4,得万=2, u 匕 c y[3 a~ 2 9解得, ^a2=b2+c2=4+c2, 所以椭圆的标准方程为壬+ 土 =1. 164 答案:希+§ =1 8.若椭圆芹+若=l(a>Z»O)上存在一点肱,使得ZFiMF2=90° (肉,凡分别为椭圆 的左、右焦点),则椭圆的离心率。的取值范围为. 详细分析:设点M的坐标是(xo, jo),则|xo|vg. V Fi(~c, 0), F2(c, 0), . .MFi = (—c—xo, — jo), MF2=(c—xo, —jo). . ZF1MF2=9O° , :.MF1-MF2=O, :.xi +yi =c2. 又云=方2—% 端,.侦 +jo =〃+% *5 仁[肥,a2),即 c2G[Z>2, a2), :.c2^b2=a2 又0Z»O)的离心率, /. tan a tan jS = —~ , ]+一 .cos (a+B)cos a cos sin -sic B1—tan a tan (34 _ * *cos (a—/?)cos a cos/3 +sin a sin /31+tan a tan B1 _3“D・ 1-4 12. (多选)已知椭圆。的中心为坐标原点,焦点肌,理在)轴上,短轴长等于2,离 心率为平,过焦点F2作7轴的垂线交椭圆C于P,。两点,则下列说法正确的是() A. 椭圆C的方程为§ +寸=1 B. 椭圆C的方程为号+/=1 C. \PQ\=^ D. APF10的周长为40 详细分析:选ACD 由已知得2b=2, b=l,:=普, 又a2=b2+c2解得次=3. .椭圆C方程为号+x2=l, 由此选项B是错误的.Vc= yla2~b2 =皿, 不妨设刊为椭圆上焦点, .5(0,皿), 直线PQ的方程为y=yf2 . 2、乓 :.|Pg|=,故 C 正确. .|P0+|PFi|+|QFi| = |PF2|+|QF2|+|P