课时跟踪检测(二十六)椭圆的简单几何性质
课时跟踪检测(二十六)椭圆的简单几何性质 [A级基础巩固] 1. 焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准 方程为() A 专+普=1B 号+了2=1 C号+孕=1D.用=i 详细分析:选A 依题意,得a=2, a+c=39故c=l, Z>=^/22—12=^3,故所求椭 22 圆的标准方程是孚+普=1. 222222 2. 已知椭圆31+%=1(,“>0, 〃>0)与椭圆祟+三=1有相同的长辄椭圆专1+%= 1的 tn n匕n jlotn n 22 短轴长与椭圆土^+5=1的短轴长相等,则() A. m2=25, n2=16 B. m2=9, n2=25 C. m2=259 n2=9 或如2=9, n2=25 D. m2=259 n2=9 2222 详细分析:选D 因为椭圆壬+土= 1的长轴长为10,焦点在x轴上,椭圆土+§=1 m J.O匕 v 的短轴长为6,所以*=25, n2=9. 3. 曲线尚+方=1与曲线获+¥=好>。)的() A.长轴长相等B.短轴长相等 C. 焦距相等D.离心率相等 详细分析:选D将椭圆泛+5=轮>0)化为标准方程专^+£=1(九>0).易知椭圆—+ JLO VlO/t ,K10 y2_c*2 y2 q=1的长轴长是8,短轴长是6,焦距是2\[1,离心率e=;= 4 .而椭圆*.+Q心=l(A>0) VCl ArJLO/t V/C 的长轴长是8女,短轴长是仲,焦距是2、仞I,离心率e亏=乎,所以两椭圆的离心率相 等.故选D. 4. F是椭圆的左焦点,A, B分别是其在x轴正半轴和“轴正半轴的顶点,F是椭圆上 一点,且PF±x轴,0P//AB,那么该椭圆的离心率为() 22 详细分析:选A 如图所示,设椭圆的方程为学+书=1(〃>万>0), P(—c, m). V OP//AB, :. APFO^ABOA, ,•广矛 又•「(一c,时在椭圆上,.•.’+券“=1, 2。2 将①代入②得口2 = 1, 1 即e2=T,:・e=%,故选A. 5. (多选)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点Fi,列在7轴上,短轴长等于2,离心 率为乎,过焦点肌作》轴的垂线交椭圆C于P, Q两点,则下列说法正确的是() A. 椭圆C的方程为§+*2=1 B. 椭圆C的方程为与+寸=1 C. \PQ\=^ D. △PF2。的周长为40 详细分析:选ACD由已知得,2b=2,b=l,:=乎,ZT\ 又 a2=b2+c2,解得次=3.( / \ j x v2p\jyQ .椭圆方程为x2+^-=l,如图.* \PQ\=-=^=^-, △尸形。的周长为 4a=4、/3.故选 A、C、D. 6. 若椭圆x2+my2=l的焦点在j-轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m的值为. 详细分析:椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,.♦.\/£=2, 答案:I 7. 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为且过P(—5, 4),则椭圆的 方程为• 详细分析:•.W=^=平, .c2 a2—b2 1 •,诲=次=* :.5a2~5b2=a2 即 4a2=5b2. 设椭圆的标准方程为§+*=l(a>0), •.•椭圆过点P(—5, 4), .•.岸+弩料=1. 22 解得a2=45\椭圆方程为三+土=1. 答案:亲+£=1 22 8. P为椭圆书+%=1上任意一点,EF为圆N: (x—1)2+“=4的任意一条直径,则 ~PE •诙的取值范围是. 详细分析:由题意知,~PE • PF=(P2V+1VE)-(P}V+1VF) = (P}V+1VE)-(PN-1VE) =~PN2-7^E2=\PN\2-4.因为 a~c^\PN\^a+c,即 3W”MW5,所以旅•诙的取值 范围是[5, 21]. 答案:[5, 21] 9. 在平面直角坐标系。心中,椭圆C的中心为原点,焦点Fi,尸2在x轴上,离心率 为¥,过点队的直线,交椭圆C于A, B两点,且△ABF2的周长为16,求椭圆C的标准 方程. 22 解:设椭圆C的标准方程为^+^=l(a>b>0). 由。=辛知:=辛,故乒=;,从而a=2> 由△人时2的周长为\AB\+\BF2[+ |AF2|=|AFi|+|AF2|+|BFi|4-|BF2|=4a=16,得 a=4, :.b2=S. 22 故椭圆。的标准方程为三+普=1. lo O 22 10. 已知椭圆于+;=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点肱到椭圆的右焦点F和到 直线x=4的距离相等.若存在,求出点肱的坐标;若不存在,请说明理由. 解:由已知得c2=4—3=1,所以c=l,故F(l, 0). 假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,设 M(x, y)(—2WxW2), 则q (X—i)2+j2=ix—4|, 两边平方得j2=—6x+15. 又由专+¥=1,得J2=3(l-7), 代入 j2=—6x+15,得 x2—8x+16=0,解得 x=4. 因为一2WxW2,所以符合条件的点M不存在. [B级综合运用] 11. 如图,已知F1,尸2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭 圆的中心并且交椭圆于点肱,N.若过点F1的直线 “1是圆刊的切线,则椭圆的离心率为 A.^3-1B. 2-^3 C*D# 详细分析:选A 因为过点Fi的直线MFi是圆斑的切线,\MF2\=c, \FiF2\=2c,所 以|MFi|=“c.由椭圆定义可得|MFi|+\MF2\=\[3c+c=2a,可得椭圆离心率e=:=淫沈= —1. 22 12.(多选)已知椭圆*1■右=l(a>方>0)的左、右焦点分别是Fi, Fi, P是椭圆上一点, 若|PFi|=2|PF2|,则椭圆的离心率可以是() A*B| C.TD.T 详细分析:选BCD 由椭圆的定义,可得|PFi|+|PF2|=2a.又|PFi|=2|PF2|,所以|PFi| 422 =3«, m=ja.①当点 P 与 Fi, F2 不共线时,在 APF1F2 中,|PFi|-|PF2|<|FiF2|,即~a<2c, c 1 所以e=广亍 ②当点P与H1,尸2共线时,分析知\PFi\=a+c9 \PF2\=a-c9所以a+c= 2(g—c),即a—3c,所以e=^=|.综上,椭圆的离心率的取值范围是1),故选B、C、 D. 13.如图,底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截,其截口是一 个椭圆,则这个椭圆的长轴长为 cm,短轴长为 cm,离心率为 详细分析:由题图知短轴长为底面直径12 cm,长轴长为一=8寸5(cm),则^2=(4^3)2 cos 一 62=12, .・・c=2/§, 离心率e=~=^. ci z 答案:8^3 12 | 22 14.椭圆方