高中数学函数及方程思想探究
高中数学函数及方程思想探究 摘要:函数与方程的思想是高中数学的重要思想方法之 一。函数的思想即将方程及不等式的问题转化为函数的问 题,借助函数的图像及性质进一步解决问题;方程的思想是 把y=f (x)函数看做方程f (x) -y=0的问题,利用方程进 一步研究。 关键词:数学;函数思想;方程思想 一、知识内容 1. 函数的思想 就是利用函数的图像和性质分析问题,通常将一些方 程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的 根的问题、不等式恒成立的问题,特别是一些超越方程或超 越不等式中,巧用函数的思想,会使问题迎刃而解。 2. 方程的思想 就是把函数构造成方程,利用方程进一步研究方程的思 想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆 锥曲线的位置关系问题,都可利用解二元方程组来巧妙解 决。 二、典例分析 1.(题型1)构造函数,并利用函数的图像和性质来解 决有关问题 例 1 若 xl 满足 2x+2x=5, x2 满足 2x+21og2 (xT) =5, 求xl+x2的值。 分析:方程2x+2x=5与方程2x+21og2 (x-1) =5都是超 越方程,其中方程的根都是不能直接求解,所以应找到两个 方程之间的联系,转化为函数的思想来解答。 解:由 2x+2x=52x=5-2x2xT=-x…(1) 2x+21og2 (xT) =521og2 (xT) =5-2xlog2 (xT)=-x… (2) 由(1)式知xl可以看做函数y=2x-l与函数y=-x的产 生的交点A的横坐标; 由(2)式知x2可以看做函数y=log2 (x-1)与函数y=-x 产生的交点B的横坐标。 而 y=2x-l 与 y=log2 (x-1)分别由 y=2x 与 y=logx 同时 向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对 称,即y=2x-l与log2 (x-1)函数图像关于y=x-l直线对称。 因为y=x-l与y=-x互相垂直,其交点C坐标为(,),同时A、 B两点关于C点对称,所以xl+x2=2X = 0 点评:本例由已知方程构成函数,巧用指对函数图像的 对称性来巧妙地解决问题。 变式:设 a, bER 且(aT) 3+2002 (a_l) =_1, (b_l) 3+2002 (b-1) =1,求 a+b 的值。 分析:观察已知条件中结构形式,构造函数f (x) =x3+2002x,有 f (a-1) =-f (b-1),知 y=f (x)为奇函数 且 y=f (x)在 R 递增的,f (aT) =f (1-b) aT=l-ba+b=2。 例2设不等式2x-l>m (x2-l)对满足的一切实数恒成 立,求实数的取值范围。 分析:不等式f (x) Ng (x)恒成立,往往都是构造F (x) =f (x) -g (x),往求 F (x) min,使得 F (x) minNO, 即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F (x) =2x-l-m (x2T), mW [-2, 2],彳主求F (x) min,利用分类讨论思想 较为复杂化,若变换以m为主元,x为辅元,即一次函数F (m) = (x2T) m- (2x~l), -2WmW2,彳主求 F (m) max,即 可使得 F (m) maxO, aNl)。 (1) 当a>l时,求证:函数f (x)在(0, +8)单调 递增。 (2) 若函数y=f (x) -tT有三个零点,求的值。 分析:函数y=f (x) -1-1有三个零点转化方程f (x) -t-l=0有三个根,再转化成f (x) =t± 1方程有三个根,再 转化成函数y=f (x)与函数y==t +1有三个交点,利用函数 与方程思想相互转化。 解:(l)f (x) =axlna+2x-lna= (ax-1) lna+2x。 */x>0, a>l, /.ax>l, axT〉0, lna>0, 2x>0o /. (ax-1) lna+2x>0,即 f (x) >0。/.y=f (x)在(0, + 8)是单调递增的。 (2)函数y=f (x)-t-l有三个零点?圳方程f (x)-tT=O 有三个根?圳f (x) =t±l方程有三个根?圳函数y=f (x) 与函数f=t +1有三个交点。 由(1)式知当a>l时,函数f (x)在(0, +8)单调 递增,(x) = (ax-1) lna+2x,当 a>l 时,若 x0, 2x1 时,y=f (x)在(-°°, 0)单调递减。 当 00 时,ax-10, /. (ax-1) InaO。 当a>l时,y=f (x)在(-8, 0)单调递增。 当 00 lnat-1, y=t-l=f (0) =1 时,且 t=2 时满足要 求。 t=2o 点评:本例巧妙利用函数与方程相互转化的思想解决问 题。 总之,函数与方程的思想在高中数学中是一种非常重要 的思想和方法,涉及的知识点多,也是高考考查的重点,我 们只有教会学生去分析问题、转化问题,才能达到解决问题 的目的。 (南昌大学附中)