高中数学函数及方程思想探究

高中数学函数及方程思想探究 摘要函数与方程的思想是高中数学的重要思想方法之 一。函数的思想即将方程及不等式的问题转化为函数的问 题，借助函数的图像及性质进一步解决问题；方程的思想是 把yf x函数看做方程f x -y0的问题，利用方程进 一步研究。 关键词数学；函数思想；方程思想 一、知识内容 1. 函数的思想 就是利用函数的图像和性质分析问题，通常将一些方 程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的 根的问题、不等式恒成立的问题，特别是一些超越方程或超 越不等式中，巧用函数的思想，会使问题迎刃而解。 2. 方程的思想 就是把函数构造成方程，利用方程进一步研究方程的思 想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆 锥曲线的位置关系问题，都可利用解二元方程组来巧妙解 决。 二、典例分析 1.题型1构造函数，并利用函数的图像和性质来解 决有关问题 例 1 若 xl 满足 2x2x5, x2 满足 2x21og2 xT 5, 求xlx2的值。 分析方程2x2x5与方程2x21og2 x-1 5都是超 越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以应找到两个 方程之间的联系，转化为函数的思想来解答。 解由 2x2x52x5-2x2xT-x1 2x21og2 xT 521og2 xT 5-2xlog2 xT-x 2 由1式知xl可以看做函数y2x-l与函数y-x的产 生的交点A的横坐标； 由2式知x2可以看做函数ylog2 x-1与函数y-x 产生的交点B的横坐标。 而 y2x-l 与 ylog2 x-1分别由 y2x 与 ylogx 同时 向右平移一个单位得到y2x与ylogx函数图像关于yx对 称，即y2x-l与log2 x-1函数图像关于yx-l直线对称。 因为yx-l与y-x互相垂直，其交点C坐标为，，同时A、 B两点关于C点对称,所以xlx22X 0 点评本例由已知方程构成函数，巧用指对函数图像的 对称性来巧妙地解决问题。 变式设 a, bER 且aT 32002 a_l _1, b_l 32002 b-1 1,求 ab 的值。 分析观察已知条件中结构形式，构造函数f x x32002x,有 f a-1 -f b-1,知 yf x为奇函数 且 yf x在 R 递增的，f aT f 1-b aTl-bab2。 例2设不等式2x-lm x2-l对满足的一切实数恒成 立，求实数的取值范围。 分析不等式f x Ng x恒成立，往往都是构造F x f x -g x,往求 F x min,使得 F x minNO, 即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F x 2x-l-m x2T, mW [-2, 2],彳主求F x min,利用分类讨论思想 较为复杂化，若变换以m为主元，x为辅元，即一次函数F m x2T m- 2xl, -2WmW2,彳主求 F m max,即 可使得 F m maxO, aNl。 1 当al时，求证函数f x在0, 8单调 递增。 2 若函数yf x -tT有三个零点，求的值。 分析函数yf x -1-1有三个零点转化方程f x -t-l0有三个根，再转化成f x t 1方程有三个根，再 转化成函数yf x与函数yt 1有三个交点，利用函数 与方程思想相互转化。 解lf x axlna2x-lna ax-1 lna2x。 */x0, al, /.axl, axT〉0, lna0, 2x0o /. ax-1 lna2x0,即 f x 0。/.yf x在0, 8是单调递增的。 2函数yf x-t-l有三个零点圳方程f x-tTO 有三个根圳f x tl方程有三个根圳函数yf x 与函数ft 1有三个交点。 由1式知当al时，函数f x在0, 8单调 递增，x ax-1 lna2x,当 al 时，若 x0, 2x1 时，yf x在-, 0单调递减。 当 00 时，ax-10, /. ax-1 InaO。 当al时，yf x在-8, 0单调递增。 当 00 lnat-1, yt-lf 0 1 时，且 t2 时满足要 求。 t2o 点评本例巧妙利用函数与方程相互转化的思想解决问 题。 总之，函数与方程的思想在高中数学中是一种非常重要 的思想和方法，涉及的知识点多，也是高考考查的重点，我 们只有教会学生去分析问题、转化问题，才能达到解决问题 的目的。 南昌大学附中