高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案-学生

教师：学生： 时间：2016 年月—日 段第 次课 教师 学生姓名 上课日期 月 日 学科 数学 年级 高二 教材版本 人教版 类型 知识讲解：V考题讲解：V 本人课时统计 第()课时 共()课时 学案主题 《导数及其应用》复习课时数量 第()课时 授课时段 教学目标 1. 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2. 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3. 会求函数在某点的导数 教学重点、 难点 掌握导数的概念和求法。 掌握利用导数研究函数的单调性及导数的应用。 教学过程 知识点复习 【知识点梳理】 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数六X)在区间听,工2】上的平均变化率为：代)。 gn 3 Af y(X2)— y(Xi) y(X +Ax) — y(Xi) Ax A%x2 -Ax 注1：其中k是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的垩均速度。 2, 导数的定义：设函数y = f(x)在区间(a,8)上有定义，x°gb),若无限趋近于。时，比值 ^=/(x0+^)-/(x0)无限趋近于一个常数a,则称函数/ (x)在x = x°处可导，并称该常数A为函数 f(x)在x = x0处的导数，记作f (xo) O函数/ (X)在X = xo处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 注意：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 3, 求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量Ay = /(x0+Ax)-/(x0) ； (2)求平均变化率： f(x。+机f(x°)；(3)取极限，当无限趋近与。时，/3“*)一f3。)无限趋近与一个常数A, AxAx 则 f (x0) = A. 4. 导数的几何意义： 函数/ 3)在x = x()处的导数就是曲线y = f(x)在点(x0,/(x0))处的切线的斜率。由此，可以利用导 数求曲线的切线方程，具体求法分两步： (1) 求出、=六＞)在xo处的导数，即为曲线y = f{x)在点(xo，f(^o))处的切线的斜率； (2) 在巳知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为卜-见二广“。)“-%)。 当点P(x0,y0)不在＞ = y(x)上时，求经过点P的y = f(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标 得到切线方程，再将F点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y = /(.r)在点(A0,/(A0))处的切线平 行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x = x。。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S是时间/的函数S(f),则V = S\t)表示瞬时速度，a = v\t)表示瞬时加速 度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： (1) (kx + b) = k(k,b 为常数)；(2) C = 0(。为常数)； (3) (x) = l； (4) (x2) = 2x : (5)仃)，=3.己 (6)(【) =--; x x2 (7)(^/^)，=—； 2』x (8) (xa), = axa~1常数)； (9) (axy = ax Ina(a >0,a^l)； (10) (loga xy - 1 loga e - 1 (。>0心1) xx in ci (11) (exY = ex； (12) (lnx) = 】； X (13) (sinx)r = cosx ； (14) (cosx)r = -sinx。 2,函数的和、差、积、商的导数(若f(x), g(x)均可导)： (1) [/(%) ± g(x)] = f (x) ± g,(x); (2) [Cf(x)] = Cf (x) (C 为常数)； (3) [f(x)g(x)]r = y (x)g(x) + y(x)g (x)； ⑷[/Mr = f>(x)gW-/(x)gXx)o g ⑴g-(A-) 3.简单复合函数的导数： y = f(u),u = ax + b ,贝!1乂 = 乂.“： ,即 y . = y u-a o 三、导数的应用 1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y = f(x)在区间(”,力)内可导， (1) 如果恒广3)>0，则函数v = f(x)在区间(a,b)上为增函数； (2) 如果恒f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式H-xXO,解集在定义域 内的不间断区间为减区间。 反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)： 设函数y = f(x)在区间(a,b)内可导， (1) 如果函数y = /(x)在区间(a,b)上为增函数，则其中使f (.x) = 0的x值不构成区间)； (2) 如果函数y = /(x)在区间(«,力)上为减函数，则f (.x) M 0 (其中使f (.x) = 0的x值不构成区间)； (3) 如果函数y = /(x)在区间(％力)上为常数函数则=。恒成立。 2, 求函数的极值： 设函数y = /(A-)在X。及其附近有定义，如果对X。附近的所有的点都有f(A-)>/(Ao)(或 f(x)< /(.r0)),则称是函数f(x)的极小值(或极大值)。 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x) ； (3)求方程f (x) = 0的全部实根，X］ <毛<