高三数学下10.4二项式定理3教案
课 题:10. 4二项式定理(三) 教学目的: 1. 理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用; 2. 初步了解用赋值法是解决二项式系数问题; 3. 能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题 的能力 教学重点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用. 教学难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用. 授课类型:新授课. 课时安排:1课时. 教 具:多媒体、实物投影仪. 教学过程: 一、复习引入: 1. 二项式定理及其特例: (1) (a + b)“ =CM+C:a% + +C nan~rbr+ +C :b“(n e N*), (2) (l + x)“=l + C,侦+ ++ +x”. 2.二项展开式的通项公式:Tr+i = C nan~rbr 3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对广的限制;求 有理项时要注意到指数及项数的整数性. 二、讲解新课: 1 .二项式系数表(杨辉三角) (a + by展开式的二项式系数,当“依次取1,2,3 -时, 二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个 数都等于它肩上两个数的和. 2. 二项式系数的性质: (a + by展开式的二项式系数是C?, C:, C〉…,C;;. C; 可以看成以广为自变量的函数/(r) 定义域是{0,1,2, /},例当n = 6时,其图象是7个孤立的 点(如图) (1) 对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 17 直线r=-是图象的对称轴. 2 (2) 增减性与最大值.(“ + 1)=曹.^1^±1, k\k :.Ct相对于cP的增减情况由 IT决定,n~k + i > 10 S El, kk2 n 4-1 当k +(-irC;;, 即 O = (C? + C;+ )-(C;+C:+ ), .••C? + C:+ =C>C> , 即在(a + by的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数 的和. 说明:由性质(3)及例1知++ =C; + C:+ =2“T. 例 2.已知(1 -2x)7 = aQ+aAx + a^x1 + +a-,x7,求: (1 )。] +。2 ++ % ;( 2 ) 3] + % + % +。7 ;( 3 ) | % | + | % | + + | 6Z7 I • 解:(1)当x = l时,(1一2》)7 =(1 — 2)7 =—1,展开式右边为 % + Q] + 缶 ++ 丹 「・ % + % + % + + % = —1, 当 X = 0 时,% = 1 ,・ . Q] + 角 + + % = — 1 — 1 = —2 , (2) 令x = l,aQ+a{+a2+ +%=—1① 令 X — —1 , % —。] + 角—% + % — % + % —。7 =3 ② /1 + 37 ①-② 得: 2(q + 角 + % + “7)= -1 - 3,,%+% + %+% =~—. (3) 由展开式知:Cl、,%%,%均为负,均为正, ・••由(2)中①+② 得:2(% + 角 + % + %) = — 1 + 3^, ・-1 + 37 •・ Ct。+ C?2 ++ “6 —, | % | + | % | ++ | % 1= % — % + % — % + “4 — % + % — “7 —(% + Ct? +。4 + % ) — (“1 + % + % + “7 ) = 3) • 例3.求(l+x) + (l+x)2+・・・+(l+x/展开式中X’的系数. 解:(l + x) + (l + x)2 +.(1 + x)10 = d + X)[l-(l + X)10] 1 - (1 + x) (x + l)11 -(x + 1) .原式中¥实为这分子中的则所求系数为c£. 例4.在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数. 解:•.•(x2+3x + 2)5=(x+1)5(x + 2)5 .在(x+l)5展开式中,常数项为1,含X的项为C;=5x, 在(2+x)6展开式中,常数项为25=32,含X的项为C;24x = 80 x 展开式中含x的项为1-(80 x) + 5x(32) = 240 x , 此展开式中x的系数为240. 例5.已知(衣-M)11的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14; 3, X 求展开式的常数项. 解:依题意C: :C: =14:35C[ =14C: 3n(n-l) (n~2) (n~3) /4! =4n (n~l) /2! =^>n=10. 010-5r 设第r+l项为常数项,又T“i =C;o(衣)g(—- y =(—2),C;oX、 X T2+1 = C%(—2)2 = 180.此所求常数项为 180. 四、课堂练习: (1) (2%-5^)2°的展开式中二项式系数的和为,各项系数的和 为,二项式系数最大的项为第 项; (2) (7^ + -)“的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为. (3) C: + 2C: + 4C:+ +2“C:;=729,则 C:+C;+G; + +C„=() A. 63B. 64C. 31 D. 32 (4) 已知:(2 —+ qx“ ++%0了5°, 求:(%+% ++ “so)? — ((?] + % ++6?49)-的值. 答案:(1) 220, 320, 11; (2) 展开式中只有第六项的二项式系数最大, L 1l :.〃 = 10, 7; =C^(V%)7(-)3 =1207%; x (3) A. 五、小结:1.性质1是组合数公式C: = C「的再现,性质2是从函数的角度 研究的二项式系数的单调性,性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二 项式系数的和; 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母 赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业:. 七、板书设计(略). 八、课后记: . 求0.9986的近似值,使误差小于0.001. 解:0.9986 = (1 —0.002)6 =C? +C