高三数学导数专题例题及知识点总结
导数专题 一、导数的基本应用 (一)研究含参数的函数的单调性、极值和最值 基本思路:定义域 > > 疑似极值点 > > 单调区间 > > 极值 >、最值 基本方法: 一般通法:利用导函数研究法 特殊方法:(1)二次函数分析法;(2)单调性定义法 第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注,以及求导运算和分类讨论的能力与技巧 【例题1】已知函数/(X)= 2x-b (x — ,求导函数r(x),并确定f(x)的单调区间. 妇 、2(x-1)2-(2x-Zj) 2(%-1) -2x+2b-22[x-(Z?-l)] 解:E)=K=(5=- 3—1)3• 令 f (x) = 0 , # x = Z? -1. 2 当b-l = l ,即b = 2时,/(x)=,所以函数/ (X)在(-oo,l)和(1, + co)上单调递减. x-1 当b-l2时,的变化情况如下表: (—8,1) (1,b-1) b-1 0 — 1, + 00) f M — + 0 — 所以,b2时,函数f(x)在(—8,1)和0 — 1,+ 3)上单调递减,在(1, b-V)上单调递增. 第二组本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题2】已知函数/(%) = %3 +mx2 + WC-2的图象过点(-1, -6),且函数g(x) = f (x) + 6x的图象关于/■轴对称.(I ) 求乃?、〃的值及函数y = f(x)的单调区间;(□)若« > 0 ,求函数y = f(x)在区间(«-l,a +1)内的极值. 解;(I)由函数f(x)图象过点(-1,-6),得秫一 ” =一3, ① 由 f^) = ^ +mx2 +nx-2,得 fr(x) = 3x2 + 2mx+n ,则 g(x) = f\x) + 6x = 3x2 + (2m+6)x+n; 2m + 6 而g(x)图象关于》轴对称,所以——=0 ,所以77? = -3, 2x3 代入①得花=0 .于是/“ (X)= 3x2 -6x = 3x(x - 2). 由 f (x) > 0 # x > 2 或x0, x (I) 讨论/ ⑴的单调性; (II) 设a=3,求/ (X)在区间[1, e2]±值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数. 。1 解:(I)由于尸(x) = 1 ■―-—,令,=—得尸3) = 2产—at+1 Q。0) X XX ① 当△ = a2 ~80,即 u> 2 时, -2eg8] + Jq2_8 由2户_血 + ]>0得tv或I〉: 44 a + y/a2 —8a — yja2 —S :.x > 单调区间、极值、最值〉> 不等关系式 > > 参数取值范围 基本工具:导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题4】已知函数+ 2bx2 + cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y = 5x-10. (I) 求函数f(x)的解析式; (II) 设函数g(x) = f{x) + -mx,若g(x)的极值存在,求实数771的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变 3• 量X的值. 解:(I)由已知,切点为(2,0),故有/(2) = 0,即4Z? + c + 3 = 0……① 又 f\x) = 3x +4bx+c ,由已知 /,(2) = 12 + 8Z? + c = 5#8^ + c + 7 = 0 ……(2) 联立①②,解得b = -l,c = l.所以函数的解析式为f(x) = x3-2x2 +x-2 (II)因为 g(x) = x3 -2x2 + x-2 + ^mxgf(x) = 3x2 -4x + l + ^-m = 0 , 1 当函数有极值时,方程3x- -4x + l + -m =