高三数学导数专题例题及知识点总结

导数专题 一、导数的基本应用 （一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值 基本思路定义域 疑似极值点 单调区间 极值 、最值 基本方法 一般通法利用导函数研究法 特殊方法（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法 第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧 【例题1】已知函数/（X） 2x-b x ,求导函数r（x）,并确定f（x）的单调区间. 妇 、2x-12-2x-Zj 2-1 -2x2b-22[x-Z-l] 解EK5- 313 令 fx 0 , x Z -1. 2 当b-l l ,即b 2时，/x,所以函数/X在-oo,l和1, co上单调递减. x-1 当b-ll,即b2时，扩x的变化情况如下表 X -00, Z-l b-\ 0-1,1 L 00 0 当Z-11 ,即b2时，的变化情况如下表 8,1 1，b-1 b-1 0 1, 00 fM 0 所以，b2时，函数/（）在（一00, b-X）和（l, oo）上单调递减，在0 1,1）上单调递增, b 2时，函数/（X）在（一8,1）和（1, 8）上单调递减. 方2时，函数f（x）在（8,1）和0 1, 3）上单调递减,在（1, b-V）上单调递增. 第二组本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题2】已知函数/（） 3 mx2 WC-2的图象过点（-1, -6），且函数g（x） f（x） 6x的图象关于/■轴对称.（I ） 求乃、〃的值及函数y f（x）的单调区间；（□）若 0 ,求函数y f（x）在区间（-l,a 1）内的极值. 解；（I）由函数f（x）图象过点（-1,-6）,得秫一 ” 一3, ① 由 f mx2 nx-2,得 frx 3x2 2mxn ,则 gx f\x 6x 3x2 2m6xn; 2m 6 而gx图象关于轴对称，所以0 ,所以77 -3, 2x3 代入①得花0 .于是/X 3x2 -6x 3xx - 2. 由 fx 0 x 2 或x0,故/X的单调递增区间是-oo,0, 2,-ko； 由f*0得0 x2,故fx的单调递减区间是0,2. H由I得 /, 3-2,令 r* 0得 X 0 或 X 2. 当了变化时，/的变化情况如下表 -8,0 0 0,2 2 2,oo 馅 0 0 fx 增 极大值 减 极小值 增 由此可得当0 1时，fx在a-l,a 1内有极大值/0 -2 ,无极小值； 当。1时，fx在-, 1内无极值； 当1 。3时，fx在a-l,a 1内有极小值/2 -6,无极大值； 当a3时，fx在a-l,a 1内无极值. 综上所述，当0 a 1时，fx有极大值一 2,无极小值；当1 。3时，fx有极小值一 6,无极大值；当。1或 a3时，fx无极值. 点评本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研 究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平. 2 【例题3】已知函数/A- x 1-6/Inx , a0, x I 讨论/⑴的单调性； II 设a3,求/X在区间[1, e2]值域.其中e2.71828是自然对数的底数. 。1 解I由于尸x 1 ■-，令，得尸3 2产at1 Q。0 X XX ① 当△ a2 8。，即 0 a22 时，/zx0 恒成立，/. /在yo,0,0,qo上都是增函数. 当八 280,即 u 2 时, -2eg8］ Jq2_8 由2户_血 ］0得tv或I〉 44 a y/a2 8a yja2 S .x 0或尤〉或0 v尤v 22 21 ex 1 J。8i J28u yct 8 J28 4422 综上，当0 a 2/2 /*3在一8,0,0,8上都是增函数； 当a 2fx在一3,0,0, f -8及a 艾8 ,十上都是增函数， 卜,a sla2 8 a Ja2 -8、曰、汰一迥 在,是减函数. 2 当a 3时，由1知，/Xx在［1, 2］上是减函数，在［2,e2］是增函数. 2 又 f⑴ 0,/2 2-31n20,fe2 e2- -50 e 2 函数yx在区间［1, e］上的值域为［2-31n2, e2- -5］. e- 点评 1 第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧； 2 第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题. 二 利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围 基本思路定义域 单调区间、极值、最值〉 不等关系式 参数取值范围 基本工具导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题4】已知函数 2bx2 cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y 5x-10. I 求函数fx的解析式； II 设函数gx f{x -mx,若gx的极值存在，求实数771的取值范围以及函数gx取得极值时对应的自变 3 量X的值. 解I由已知，切点为2,0,故有/2 0,即4Z c 3 0① 又 f\x 3x 4bxc ,由已知 /,2 12 8Z c 58 c 7 0 2 联立①②，解得b -l,c l.所以函数的解析式为fx x3-2x2 x-2 II因为 gx x3 -2x2 x-2 mxgfx 3x2 -4x l -m 0 , 1 当函数有极值时，方程3x- -4x l -m