课后素养落实(十六)抛物线的简单几何性质
课后素养落实(十六)抛物线的简单几何性质 (建议用时:40分钟) [A组 基础合格练] 一、选择题 1. 己知点F是抛物线/=x的焦点,A, B是该抛物线上的两点.^\AF] + \BF\=3,则线 段的中点到y轴的距离为() 753 A.彳 B.C.D. 1 B [设 A(xa,刃),B(xb,形),则\AF\ + \BF] =xA+^+xB+^=xA +xB+p=39 则 AB 的中点 ^xa+xb 刃+y仍八 ,,,,ar_ [ xa+xb 3—p 5) Cr 2 ,2 J至寸);轴的品巨离 d= 2 = ~2 —=〒 故选 B.] 2. 抛物线y=12x2上的点到焦点F的距离的最小值为() A. 3B. 6C. 土D. 7T7 C [将方程化为标准形式是x2=^y,则p=£.设肱3), yo)是抛物线y =12/上的一点, 则|M尸|=&+里涔=土,当且仅当的=0时,取等号,故抛物线y=12x1上的点到焦点F的距 离最小值为] 3. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作弦AB,其所在直线的倾斜角为普贝||AB|等于() 8〃 A. 3 B. 4p C. 6p D. 8p D [由抛物线的焦点弦公式得, 9 2 sin 221-4 4, 动点到点(3, 0)的距离比它到直线x=—2的距离大1,则动点的轨迹是() A.椭圆B.双曲线 C.双曲线的一支D.抛物线 D [已知条件等价于“动点到点(3, 0)的距离等于它到直线*=一3的距离“,由抛物线 的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选D.] 5. 已知抛物线C: f=4x的焦点为F,直线y=2x~4与。交于A, B两点,则cosZAFB =() 4334 A. TB. TC. —TD. —7 侦2=4尤, D [由:得 %2—5x+4=0, /.x= 1 或 x=4. [y=2x—4 不妨设A(4, 4), 8(1, -2),则|液| = 5, |而| = 2, FA-FB=(3, 4)-(0, 一2) = — 8. / FAFB -84 心皿=由^=弟=一亍] 二、填空题 6. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(xi,刃),Bg %)两点,若由+入2=6, 则\AB\=・ 8 [\AB\=xi+x2+p=6+2=8.] 7. 线段A8是抛物线y2=x的一条焦点弦,且\AB\=4,则线段A8的中点C到直线工+§= 0的距离为. 9 4 [设 A(% yi), Bg yi), 由于|A8|=xi+x2+p=4, .*.xi+x2=4—2 = 2, ii + 肋 1710 中点C(xo, yo)到直线x+y=O的距离为xo+^=-z-+5=]+5=云・] 匕乙乙乙乙 8. 过抛物线/=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(xi, yi)、*)两点,则kOA-kOB 的值是. 4 「77H12 y»2 ~4 [koA,koB= •=, 1-Xi X2 X1X2 rp-—/ 根据焦点弦的性质工1刀2=0, yiy2=—p2,故koA koB=~~^= —4.] 4 三、解答题 9. 在抛物线y2=2x±求一点P,使F到直线工一y+3=0的距离最短,并求出距离的最 小值. [解]法一:设P(xo, yo)是y2=2尤上任一点, 则点 F 到直线, 的距离 h=“^+3|= 2 :+3 =|(二1*+5| 寸2寸22/2 当 yo=l 时,dmin=3^, •••?(!,1) 法二:设与抛物线相切且与直线x~y+3=0平行的直线方程为x—y+m=0, [x—y+m=Of 由j 9得 y2—2y+2秫=0, [yz=2x, ,「I = (—2)2—4X2m=0,「・ 「・平行直线的方程为工一y+;=0,此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离, 则Hmin=—,此时点F的坐标为6,1). 10. 如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线/交抛物线于点A、B,交其准线 于点C,若\BC\ = 2\BF\,且|AH = 3,求此抛物线的方程. [解] 过A、8分别作准线的垂线&4二BD,垂足分别为出、D,则\BF\ = \BD\, 又 2\BF\ = \BC\, •在 RtZ\8C£> 中,ZBCD=30°. 又“|=3, •|AA[ = 3, |AC|=6, \FC\=3. 13 :.F到准线距离p=^FC\ =万. .•顶=3工. [B组能力过关练] 11. 设旭为过抛物线,2=2河/?>0)的焦点的弦,则|侧|的最小值为() A. 2 B. p C. 2p D.无法确定 C [当AB垂直于对称轴时,|AB|取最小值,此时AB即为抛物线的通径,长度等于2p.] 12. 有一张长为8,宽为4的矩形纸片ABCD,按图中所示的方法进行折叠,使折叠后的 点B落在边上,此时将8记为E(注:图中EF为折痕,点F也可能落在边CD上).过点 可作B T//CD交EF于点T,则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分() A B D A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 B [由于B T//CD, ik B TLAD,连接以(图略),由折叠关系,知\B T] = \TB\,即动点T 到直线AD的距离等于到定点B的距离.由抛物线的定义,知动点T的轨迹是以3为焦点, 以AZ)为准线的抛物线在矩形A3CZ)内的部分.故选B.] 13. (多选题)设抛物线C:寸=3了的焦点为F,点A为。上一点,若|招|=3,则直线硝 的倾斜角可能是() a 5 R H3tt /a • 3 jj • 4•3\-j •4 AC [如图,作 AHA.I 于 H,则\AH\ = \FA\ = 3f 作 FELAH 于 E,则 |AE| = 3—i=l-,在 RtZXAEF 中,cos ZE AF=-!4fr=^,ZE AF=?,即 Z Z|A“| ZJ jr9jr 直线E4的倾斜角为予 同理点A在x轴下方时,直线E4的倾斜角为§.] ,cos ZAFB 14. (—题两空)已知直线y=k(x+2Xk>0)与抛物线C: / = 8.r相交于A, 3两点,F为C 的焦点.若网=2|FB|, M1J k= y=k(x+2), J2=8x, * [设 A(xi, ji), Bg yi),易知 xi>0, x2>0, yi>0, j2>0, 得注3+(4砂一8)x+4好=0, .•.xiX2=4,① :\FA\=xi+^=xi+2, \FB\=x2+^=x2+2,且网=2|FB|, :.xi=2x2+2.② 由①②得xi—4, x2—l, .•.A(4, 4”),B(l, 2^2), 将3(1, 2皿)代入y=k(x+2),得左=乎. 由两点间的距离公式得|AB| =V17,又\FA\=2\FB\=6, 2 由余弦定理得,cos/AFB= ―