计算方法试卷答案
一、(10分)对于实验数据 %,.1234 f(£)0.8 1.5 1.8 2.0 已知其经验公式为y = a + bx2,试用最小二乘拟合原理确定参数a , b。 解:根据最小二乘拟合思想,a, b应满足的正规方程组为 444 < i=lz=li=l I 444 a£ x; + b£ x,4 = £ x; /(%,.) 、 i=li=li=l qu 0.9872 力 q 0.07171。 于是根据数据表可得 J4q + 30Z? = 6.1_ [3061 + 354/? = 55“ 、(共10分)已知数据表 xi 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 f(xj 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675 试求积分心尽可能精确的近似值.解: 等) T(k) 11 5.434756 5.134342 5.034204 5.058337 •- ••••(4 分)5.033002 •- ••••(4 分)5.032922 •- ••••(2 分) 三、(共10分)(1)设X。,X],…,X“为互不相同的节点,证明: £x“(x) = X* (* =0,1,…,〃) i=0 (2)已知数据表: %,0 12 34 f(x,) | 3 6 11 18 27 试求/Xx)的四次插值多项式. nr(n+l) z^\ 解:(1) . /•(》)=匕,⑴ + &,(》)=Z fg 儿(x) + * (0,土(X) k=o(〃 +1)! 取 f(x) = xk ,贝U当4 = 0,1,.〃 时,有严1)&) = 0 .-./(%) = £„(%) 即 ^x-lk (x) = xk k = 0,1 k=Q (2)构造差冏表 xi fix) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 8 1 6 3 2 11 5 1 3 18 7 1 0 4 27 9 1 0 0 由牛顿插值公式得 M(对=3 + 33-0) +1(]-O)(X-1) = x2+2x + 3 —2玉 + 2%2 + 3扬=12 四、(共12分)给定线性方程组<-4X1 + 2x2 + x3 =12 %! + 2x2 +3x3 = 16 (1) 用Gauss列主元消去法求解所给线性方程组. (2) 写出解此方程组的Gauss-Seidel迭代格式,并分析该迭代格式是否收敛. ,-2 2 3 12、 ,-4 2 1 12、 ⑴ -4 2 1 12 一 -2 2 3 12 一 U 2 3 16; U 2 3 16; 解: -4 0 0 1 5 2 13 12 19 ( ( -4 2 1 12 -4 2 1 12 0 5 13 19 0 5 13 19 一 一 2 ~4 2 ~4 0 5 6 0 0 6 8 1 k 2 7 k 5 3) (3 分) 等价方程组为 —4.Yj + 2x, + X] =12 513 一 X-, HX-, — 19 2 ■ 4 3 6 I 4284 回代得易=与土=耳5=耳・ (2 分) ⑵Gauss-Seidel迭代格式为< (3 分) (2 分) x件)=_((12_2妙)_3若)) 妙+i)=!(12 + 4W+D—*)) 忒+1)=:(16_》件)—2出5) Gauss-Seidel迭代矩阵Gs的特征方程为 -2X 23 -4X 2X 1 =0 »2入(-6仃—入+ 1) = 0, X 2X 3 入 扃=0’入2 =-;人=:np(G,)=;<l. 所以Gauss-Seidel迭代格式收敛. (1分) 五、(共10分)求方程 疽-x-2 = 0的所有正实根.(精确到KT、). 解:令f(x) = e — x —2, f(l)<0,f(2)>0, f (x) = e —1,当 x>0 时,f (x)> 0,所以大x)在(0,+8)内单调递增,从而亦)在(0,+8)内有唯一正实根,(1,2)为有根 区间.(2分) °Xk _ Y _ 2 Newton 迭代格式为:xk+1 = xk厂足 k = 0,1,••-, (3 分) eXk —1 取尤0=1・°,贝U 尤1=1.163953 x2 =1.146421 x3 =1.146193 x4 =1.146193, |x4-x3|<10-5 /. X* -1.146193.—— (5 分) 六、(共10分)用改进Euler公式求初值问题 “的数值解,取步长/z = 0.2, b(o)= i 计算五步,结果保留4位小数. 丸+1 =yk +hf(Xk,Nk) 解:改进欧拉公式为<h_ (3分) %+i =光 + 51/(X,%) + f 3奸1,见+i)] 计算结果列于表中 k xk yk 0 0 i 1 0.2 1.24•- ••••(2 分) 2 0.4 1.5768 •- ••••(2 分) 3 0.6 2.0317 • ••…(1分) 4 0.8 2.6307 • ••…(1分) 5 1.0 3.4055 ,•…(1分) 1 七、(共10分)用规范化蓦法求矩阵 A = 1-31-4 1 - 2 1 - 3 1-31-41-5 的按模最大的特征值和 相应的特征向量.(精确到第4位有效数字稳定) (2 分) Vq = I/。丰 0 解:< vk = Auk_x k = 1,2 ,… vk Uk = max(*) 取v°=( 1,1,1)「,计算结果如表所示: x, =(1,0.55603,0.39091产. (2 分) kv; T uk 人i估计值 0111 1 1 1 1 1.83333 1.08333 0.78333 1 0.5909 0.42727 1.83333 2 1.43788 0.80379 0.56651 1 0.55901 0.39399 1.43788 3 1.41083 0.78483 0.55188 1 0.55629 0.39117 1.41083 4 1.40853 0.78322 0.55064 1 0.55605 0.39093 1.40853 5 1.40833 0.78308 0.55053 1 0.55603 0.39091 1.40833 6 1.4083