计算方法试卷答案

一、（10分）对于实验数据 ,.1234 f（）0.8 1.5 1.8 2.0 已知其经验公式为y a bx2,试用最小二乘拟合原理确定参数a , b。 解根据最小二乘拟合思想，a, b应满足的正规方程组为 444 ilzlil I 444 a x； b x,4 x； /（,.） 、 ililil qu 0.9872 力 q 0.07171。 于是根据数据表可得 J4q 30Z 6.1_ [3061 354/ 55 、（共10分）已知数据表 xi 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 fxj 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675 试求积分心尽可能精确的近似值.解 等） Tk 11 5.434756 5.134342 5.034204 5.058337 - 4 分5.033002 - 4 分5.032922 - 2 分 三、共10分1设X。，X]，，X“为互不相同的节点，证明 xx X* * 0,1,，〃 i0 2已知数据表 ,0 12 34 fx, | 3 6 11 18 27 试求/Xx的四次插值多项式. nrnl z\ 解1 ... /匕,⑴ ,Z fg 儿x * 0,土X ko〃 1 取 fx xk ,贝U当4 0,1,...〃 时，有严1 0 .-./ „ 即 x-lk x xk k 0,1 kQ 2构造差冏表 xi fix 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 8 1 6 3 2 11 5 1 3 18 7 1 0 4 27 9 1 0 0 由牛顿插值公式得 M对3 33-0 1]-OX-1 x22x 3 2玉 22 3扬12 四、共12分给定线性方程组＜-4X1 2x2 x3 12 2x2 3x3 16 1 用Gauss列主元消去法求解所给线性方程组. 2 写出解此方程组的Gauss-Seidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛. ，-2 2 3 12、 ，-4 2 1 12、 ⑴ -4 2 1 12 一 -2 2 3 12 一 U 2 3 16； U 2 3 16； 解 -4 0 0 1 5 2 13 12 19 -4 2 1 12 -4 2 1 12 0 5 13 19 0 5 13 19 一 一 2 4 2 4 0 5 6 0 0 6 8 1 k 2 7 k 5 3 3 分 等价方程组为 4.Yj 2x, X] 12 513 一 X-, HX-, 19 2 ■ 4 3 6 I 4284 回代得易与土耳5耳・ 2 分 ⑵Gauss-Seidel迭代格式为＜ （3 分） （2 分） x件）_（（12_2妙）_3若）） 妙i）（12 4WD*）） 忒1）（16_件）2出5） Gauss-Seidel迭代矩阵Gs的特征方程为 -2X 23 -4X 2X 1 0 2入（-6仃入 1） 0, X 2X 3 入 扃0’入2 -；人np（G,）；＜l. 所以Gauss-Seidel迭代格式收敛. （1分） 五、（共10分）求方程 疽-x-2 0的所有正实根.（精确到KT、）. 解令f（x） e x 2, f（l）＜0,f（2）＞0, f（x） e1,当 x＞0 时，f（x）＞ 0,所以大x）在（0,8）内单调递增，从而亦）在（0,8）内有唯一正实根，（1,2）为有根 区间.（2分） Xk _ Y _ 2 Newton 迭代格式为xk1 xk厂足 k 0,1,-, （3 分） eXk 1 取尤01・，贝U 尤11.163953 x2 1.146421 x3 1.146193 x4 1.146193, |x4-x3|＜10-5 /. X* -1.146193. （5 分） 六、（共10分）用改进Euler公式求初值问题“的数值解，取步长/z 0.2, b（o） i 计算五步，结果保留4位小数. 丸1 yk hf（Xk，Nk） 解改进欧拉公式为＜h_ （3分） i 光 51/（X，） f 3奸1，见i）］ 计算结果列于表中 k xk yk 0 0 i 1 0.2 1.24- （2 分） 2 0.4 1.5768 - （2 分） 3 0.6 2.0317 （1分） 4 0.8 2.6307 （1分） 5 1.0 3.4055 ,（1分） 1 七、（共10分）用规范化蓦法求矩阵 A 1-31-4 1 - 2 1 - 3 1-31-41-5 的按模最大的特征值和 相应的特征向量.（精确到第4位有效数字稳定） （2 分） Vq I/。丰 0 解＜ vk Auk_x k 1,2 , vk Uk max（*） 取v（ 1,1,1）「，计算结果如表所示 x, （1,0.55603,0.39091产. （2 分） kv； T uk 人i估计值 0111 1 1 1 1 1.83333 1.08333 0.78333 1 0.5909 0.42727 1.83333 2 1.43788 0.80379 0.56651 1 0.55901 0.39399 1.43788 3 1.41083 0.78483 0.55188 1 0.55629 0.39117 1.41083 4 1.40853 0.78322 0.55064 1 0.55605 0.39093 1.40853 5 1.40833 0.78308 0.55053 1 0.55603 0.39091 1.40833 6 1.4083