《绝对值的几何意义与路程和最小问题》教案设计
《绝对值的几何意义与路程和最小问题》教案设计 一. 教案背景: 1. 面向学生:初中 2. 学科:数学 3. 课时:1课时 4. 课前准备:学案、多媒体 二. 教学课题: 青岛版七年级数学上册,第2章的第3节《绝对值》的第2课时 课题:《绝对值的几何意义与路程和最小问题》 三. 教材分析: 1. 教学内容:青岛版七年级数学上册,学习完《第1章基本的几何图形》和《第2章有 理数》之后,增加的一节趣味数学课。将第1章中的“线段”和第2章中的“绝对值”两 个内容有机结合起来,使学生进一步体会数形结合的数学思想,并体验用数学知识解决生 活中实际问题的情境,提高学习兴趣,培养学数学、用数学的能力。 2. 学情分析:学生已经学习了绝对值的定义,用绝对值的代数定义求一个数的绝对值很 方便,而绝对值的几何定义学生得不到应用,理解起来很抽象,如果不借助另一知识加以 强化理解,很快就会遗忘。而前面学习了线段的有关知识后,有一道课后练习题可以继续 深入研究。这两个知识点可以联系起来,数形结合,互相补充,又可以解决生活中的实际 问题,会增加学生的学习兴趣,提高综合运用数学的能力。 3. 教学目标: (1)理解绝对值的几何意义,会简单应用,体会数形结合思想。 (2)了解生活中一类路程和最小问题的解决办法,体会数学来源于生活又指导生活。 (3)在小组自主合作交流中,培养主动学习、与他人合作、不断反思调整的学习习惯。 重点:绝对值求和问题和直线上路程和最小问题的关系 难点:货物集中问题的优化原理 四. 教学方法:教师创设情境,启发引导;学生活动探究,小组合作交流。 五. 教学过程: (一).由一道课后练习题(青岛版七年级数学上册,第22页的B组第2题)导入: 在公路AD段有四个车站,依次为A、B、C、Do现准备在公路AD段建一个加油站 M,要求使A、B、C、D各站到加油站M的总路程最短。加油站M应该建在何处? (二).学生小组交流合作解决如下问题: 1. 如图1,如果四个车站中,每两个车站之间的距离都是5千米,加油站M应建在何处? 各车站到加油站的最小的总路程是多少?——:;•-—— A B c D S 1 2. 如图2,如果四个车站不是均匀分布的,只知道A、D距离为a千米,B、C距离为b 千米,加油站M应建在何处?., 各车站到加油站的最小的总路程是多少?A 囹£ 3. 课本原题中,各车站到加油站的最小的总路程(用线段的和表示)是多少? 与A、B、C、D每相邻两点之间的距离有关系吗? 4. 如图 3,如果有 A、B、C、D、E .—— A BCD E 五个车站,加油站M应建在何处?图3 各车站到加油站的最小的总路程是多少? 5. 如果有10个车站,M应建在何处? 如果有11个车站呢? 6. 从中你发现了什么规律? (三).师生共同回顾绝对值的几何意义: I x |的意义:在数轴上表示数x的点与表示原点的点之间的距离。 I a—b |的意义:在数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离。 (四).学生小组交流合作解决如下问题: 1. 写出I X—1 |的意义: I x+2 |的意义: 2. 求lx—ll+lx+2l的最小值,并求出得最小值时x的取值范围。 (教师点拨:如图4,根据绝对值的几何意义,求lx—ll+lx+21的最小值,就是要在数轴 上找一个点x,使这个点到1和一2的距离和最小。), 思考:这个问题和建加油站的问题有什么共同点?21 囹4 3. 运用“绝对值的几何意义”和“建加油站的原理”求下列各式的最小值,并写出得最 小值时x的取值或取值范围。 (1)| x+1 | + | X—2 | + | X—4 | (2)| x—1 | + | x—2 | + | x—3 | + | x—4 | + | x—5 | + | x—6 | (五).教师精讲点拨,并提出新问题: 在课本原题中,加油站的位置与各车站需要去加油的车辆的数量是否有关呢? 为了研究这个问题,我们先来看一道货物集中问题。 如图5,某企业有甲、乙、丙三个仓库,且在一条直线上,仓库之间分别相距3千米、 1千米,三个仓库里面分别存放货物5吨、4吨、2吨。如果想把所有的货物集中到其中 一个仓库,已知每吨货物每千米运费都是100元。请问把货物集中到哪个仓库最省钱? 甲,乙丙 -® (六).学生小组交流合作解决如下问题:图5 1. 如果每个仓库的货物重量都是相同的,集中的哪个仓库最省钱? 和“建加油站问题”是否相同?和“每相邻两仓库之间的距离”有关系吗? 2. 分别计算本题中集中到各个仓库的总运费: (1)若集中到甲: (2)若集中到乙: (3)若集中到丙: 结论:通过计算得出集中到 仓库最省钱。 2. 若甲、乙之间的距离为a千米,乙、丙之间的距离为b千米,能否判断出集中到哪个 仓库最省钱? 3. “集中到哪个仓库最省钱”与“每相邻两仓库之间的距离”是否有关?与什么有关? 4. 怎样用“建加油站问题”的原理直接判断出“集中到哪个仓库最省钱” ? (七).教师精讲点拨: 如果每个仓库都只有1吨货物,如图6,本题就和建加油站的问题一样,是集中到位 于三个仓库中间的乙仓库,这个结论是不受“每相邻两个仓库之间的距离”影响的。 甲乙丙 ―®- 图6 当每个仓库的货物重量不一样,我们可以想象成:每个仓库的每吨货物也是直线排列 、甲乙丙 (间隔零距离),如图7,@@@@__ 图7 这样在整条直线上,一共可以看做共有5+4+2=11个点依次排列,要在这条直线上找 一个点,使11个点到该点的路程和最小,就像建加油站问题一样,我们知道应该选择位 于这11个点中间位置的第6个点,而第6个点是位于乙仓库,所以就可以知道将所有货 物集中到乙仓库最省钱。 (八).小结和作业: 这节课我们研究了与课本上建加油站问题相关的两个问题:第一个问题是绝对值求和 的问题,这体现了了数学中数形结合的思想;第二个问题是生活中的路程和最小问题,这 反映的其实是数学中的统筹优化问题。这样的优化问题,生活中还有很多,要想从原理上 理解彻底这类问题,欢迎同学们课后继续查阅资料, 应用绝对值的几何意义也可以解决很多问题,大家可以参考: httD:〃wenku・ 六. 教学反思: 本节课通过对一道教材上课后练习题的深入研究,既与绝对值的几何意义联系起来, 体现了数形结合,又延伸到了生活中这一类问题普遍的规律,体现了数学来源于生活又作 用于生活的特点,设计意图是好的,学生的学习热情很高,学习效果很好。只是有些地方 对于初一学生还是较难理解,虽然在延伸过程中做了较为细致的铺垫,还是需要教师适当 点拨。另外,这节课突出了学生的自主合作交流,提出