线性代数课程教学探讨
线性代数课程教学探讨 【摘 要】笔者结合自身多年来在线性代数课程“教”与“学”方面 的经验,以线性代数课程改革为契机,对线性代数教学现状进行了分析,指 出线性代数教学应做到与时俱进、合理整合教材以及实际应用与思维养成 兼顾。 【关键词】线性代数 教学改革 教学研究 【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】 1006-9682 (2010)06-0081-02 线性代数是高校理工科各专业学生必修的重要基础理论课。它广泛应 用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支,并渗透到自然科学的其 它学科,如工程技术、经济与社会科学等领域。它不仅是要教给学生一些 有用的运算工具和算法,而且是培养学生数学素养、空间想象能力、抽象 思维能力、逻辑推理能力和数值计算能力的重要课程。如何上好线性代数 课是众多数学教育工作者关注的重要课题。笔者结合多年来自身在线性代 数课程“教”与“学”方面的经验,对我院目前的线性代数课程教学进行 了研究。 一、与时俱进,转变教学观念。 我院是一所工科院校,以培养工程技术型人才为主,一直以来按工科 数学体系安排教学,教学顺序为一元函数微积分、线性代数、多元函数微 积分等,按模块讲授,共计220学时,大一上学期每周8学时,大一下学期每 周6学时,一学年完成。教材选用自编《工科数学》(科技出版社)。这一 模式的特点是大而全,将传统的线性代数适当简化后放在多元微积分前讲 授,注重知识间的相互融合和渗入,也兼顾了数值计算和实际应用。但由于 周学时偏多,加之大一学生的整体基础有所下降,程度参差不齐,基础课学 习任务重,这些情况使我们的教学出现各种问题和困难,教学效果不理想。 特别是线性代数部分,由于与高等数学融合在一起,不能很好的引起学生 的足够重视,相当多的学生没有学会“代数”地思考问题。随着计算机技 术的飞速发展和信息时代的到来,古老的线性代数焕发出了青春,它的应 用越来越广泛,对它的数值计算要求也越来越高,因此它也越来越受到重 视。我们线性代数的教学必须要适应时代的需要,与时俱进。结合我国教 育发展的现状,顺应教学发展和教学改革的需要,从2008年开始,我们对线 性代数的教学进行了改革。首先我们调整了人才培养方案,将线性代数从 工科数学中剥离出来,形成独立的一门课程,共40学时,在大二上学期进行, 每周4学时,使用同济大学编著的《工科数学一一线性代数(第五版)》[1] 作为讲授教材。其次我们对课程实施标准进行了调整。结合社会需求情况 的变化以及国家教委颁发的“线性代数教学基本要求”,根据我校学生的 实际情况,组织教学经验丰富的教师对《线性代数》课程实施标准进行了 必要的、合理的修订,进一步明确《线性代数》课程与其它课程之间的关 系,增加习题课内容,增加《线性代数》课程的教学参考资料等。此外,我 们还于2009年将线性代数列入了我院第四轮重点课程建设项目,以此为契 机,借助新教材,使我院的线性代数教学完成从旧教材到新教材的转变,从 旧体系风格到新体系风格的转变。 二、适应新教材,调整教学思路。 文[1]是普通高等教育“十一五”国家级规划教材,它参照了工科类本 科数学基础课程教学的基本要求,适当降低理论推导的要求,注重解决问 题的矩阵方法,它的编著打破了传统线性代数教材中的理论体系和思维逻 辑,与我们使用多年的自编教材风格截然不同,它的整体思路十分清晰,以 解线性方程组和矩阵方程为主线贯穿全书,以学生熟悉的线性方程组为切 入点,由消元法引出行列式和cramer法则,得到n个n元线性方程组求解 的一般方法,不符合cramer法则的方程组怎么办?引入矩阵,利用矩阵相关 知识将一般线性方程组(多元一次)求解问题转化为矩阵方程求解问题,并 围绕此问题展开讨论,层层递进,得到相关的结论。最后,提升思维,解决二 次型(多元二次)问题。 与微积分相比,学生普遍认为学习线性代数存在困难。一些学生总有 “听天书”的感觉,学生中还流行着一句话“线性相关、线性无关一一逃 不过的难关气为减少教师“教”和学生“学”的困扰,借助此教材,在教 学时,我们做了以下工作: 1.优化整合教学内容,对教材的某些顺序作适当的调整,既考虑各知 识点的独立性,又兼顾到它们的系统性,抓住主线。例如,我们将第一章的 第四节放在第三节前面讲,以增强知识点的系统性;第三章第三节线性方 程组的解与第四章第四节线性方程组的解的结构结合讲,这样处理会使得 知识点更为完整,学生学习更为系统化;讲矩阵与运算时,直接给出利用矩 阵的初等变换求矩阵的逆,并将矩阵的初等变换贯穿于求矩阵的逆、解线 性方程组、求向量组的极大线性无关组以及秩;讲第五章相似矩阵及二次 型时,通过震动方面的实例将特征值与特征向量、实对称矩阵的对角化、 化二次型为标准性贯穿起来。 2.注重知识点的自然衔接与定理、结论的多种表述,以便增强学生对 数学内在规律的了解。例如,我们把第四章第三节向量组的秩与第三章第 二节矩阵的秩结合起来讲授,引导学生找出两个知识点的区别与联系,更 利于学生掌握这两部分内容;在第四章第二节中,教材将向量组的线性相 关性和线性方程组的求解联系起来,以淡化线性相关性这个难点,但新问 题出现了:用抽象的知识点解释新的更加抽象的知识点,学生思维混乱。为 达到既不造成学生思维的混乱,又使学生较好地理解向量组的线性相关性 这一部分内容,我们讲授线性相关与线性无关知识时,先给出二维和三维 的情况,尽量具体化、形象化、直观化,再强调线性相关、线性无关的定义, 由定义出发多举例子、多提问,引导学生观察,举一反三,并发现线性相关 性定义与线性方程组的内在联系,最后给出用定义、用线性方程组的解、 用矩阵的秩等一系列判断线性相关性的判定定理。 三、实际应用和思维养成兼顾,做到“鱼与熊掌兼得”。 工科学生学习线性代数往往以学会必需的数学方法、操作及处理问题 的技能为目标,而忽视理论知识,例如,线性代数的灵魂内容一一向量的线 性关系、线性变换,学生往往有“听得懂但是不会做”的困惑。笔者认为, 这与缺乏思维训练是分不开的。而一个学生如果基础素质不够好,就会后 劲不足,将来在专业上也走不远。所以,通过线性代数教学进行必要的思维 训练,提高学生综合科学素养是非常重要的。为此,我们必须兼顾实用和思 维训练两个方面: 1. 为增强实用性,激发学生的学习兴趣,我们引入一些与课程相关的 应用实例(如逆矩阵知识编码、营养食谱的调配、交通流、网络流、图形 变换等)。下一步,在有条件的情况下,介绍相关的运算软件(如MATLAB), 结合数学实验,使学生具备较强的实用能力。 2. 为工科学生后续专业需求,在教学过程中加强学生的思维训练。以 向量的线性关系为例,直接借助前面所学线性方程组知识解释向量的线性 关系,大多数学生能通过记定理勉强记住一些判断向量线性关系的方法, 实用性加强,却没有深刻理解这些方法背后严谨优美的数学理论。那些方 法是最终结果、是表象,而这些理论才是内在的、深刻的,是能够培养他们 逻辑思维、抽象思维、推理思维以及严谨性的有意义的学习内容。为此, 在教学过程中,我们应注重引导学生学会观察,实事求是,对线性方程组本 身和求解过程进行观察,发现它的内在