线性代数课程教学探讨

线性代数课程教学探讨 【摘 要】笔者结合自身多年来在线性代数课程“教”与“学”方面 的经验，以线性代数课程改革为契机，对线性代数教学现状进行了分析，指 出线性代数教学应做到与时俱进、合理整合教材以及实际应用与思维养成 兼顾。 【关键词】线性代数 教学改革 教学研究 【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】 1006-9682 201006-0081-02 线性代数是高校理工科各专业学生必修的重要基础理论课。它广泛应 用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，并渗透到自然科学的其 它学科，如工程技术、经济与社会科学等领域。它不仅是要教给学生一些 有用的运算工具和算法,而且是培养学生数学素养、空间想象能力、抽象 思维能力、逻辑推理能力和数值计算能力的重要课程。如何上好线性代数 课是众多数学教育工作者关注的重要课题。笔者结合多年来自身在线性代 数课程“教”与“学”方面的经验，对我院目前的线性代数课程教学进行 了研究。 一、与时俱进，转变教学观念。 我院是一所工科院校，以培养工程技术型人才为主，一直以来按工科 数学体系安排教学，教学顺序为一元函数微积分、线性代数、多元函数微 积分等，按模块讲授，共计220学时，大一上学期每周8学时,大一下学期每 周6学时,一学年完成。教材选用自编工科数学（科技出版社）。这一 模式的特点是大而全，将传统的线性代数适当简化后放在多元微积分前讲 授，注重知识间的相互融合和渗入，也兼顾了数值计算和实际应用。但由于 周学时偏多，加之大一学生的整体基础有所下降,程度参差不齐，基础课学 习任务重，这些情况使我们的教学出现各种问题和困难，教学效果不理想。 特别是线性代数部分，由于与高等数学融合在一起，不能很好的引起学生 的足够重视，相当多的学生没有学会“代数”地思考问题。随着计算机技 术的飞速发展和信息时代的到来，古老的线性代数焕发出了青春,它的应 用越来越广泛，对它的数值计算要求也越来越高，因此它也越来越受到重 视。我们线性代数的教学必须要适应时代的需要，与时俱进。结合我国教 育发展的现状，顺应教学发展和教学改革的需要，从2008年开始，我们对线 性代数的教学进行了改革。首先我们调整了人才培养方案,将线性代数从 工科数学中剥离出来，形成独立的一门课程，共40学时,在大二上学期进行, 每周4学时,使用同济大学编著的工科数学一一线性代数（第五版）[1] 作为讲授教材。其次我们对课程实施标准进行了调整。结合社会需求情况 的变化以及国家教委颁发的“线性代数教学基本要求”，根据我校学生的 实际情况,组织教学经验丰富的教师对线性代数课程实施标准进行了 必要的、合理的修订，进一步明确线性代数课程与其它课程之间的关 系，增加习题课内容，增加线性代数课程的教学参考资料等。此外，我 们还于2009年将线性代数列入了我院第四轮重点课程建设项目，以此为契 机，借助新教材，使我院的线性代数教学完成从旧教材到新教材的转变，从 旧体系风格到新体系风格的转变。 二、适应新教材，调整教学思路。 文［1］是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，它参照了工科类本 科数学基础课程教学的基本要求，适当降低理论推导的要求，注重解决问 题的矩阵方法，它的编著打破了传统线性代数教材中的理论体系和思维逻 辑,与我们使用多年的自编教材风格截然不同，它的整体思路十分清晰，以 解线性方程组和矩阵方程为主线贯穿全书，以学生熟悉的线性方程组为切 入点，由消元法引出行列式和cramer法则，得到n个n元线性方程组求解 的一般方法,不符合cramer法则的方程组怎么办引入矩阵,利用矩阵相关 知识将一般线性方程组（多元一次）求解问题转化为矩阵方程求解问题，并 围绕此问题展开讨论，层层递进，得到相关的结论。最后，提升思维,解决二 次型（多元二次）问题。 与微积分相比，学生普遍认为学习线性代数存在困难。一些学生总有 “听天书”的感觉，学生中还流行着一句话“线性相关、线性无关一一逃 不过的难关气为减少教师“教”和学生“学”的困扰，借助此教材，在教 学时,我们做了以下工作 1.优化整合教学内容，对教材的某些顺序作适当的调整，既考虑各知 识点的独立性，又兼顾到它们的系统性，抓住主线。例如，我们将第一章的 第四节放在第三节前面讲，以增强知识点的系统性;第三章第三节线性方 程组的解与第四章第四节线性方程组的解的结构结合讲，这样处理会使得 知识点更为完整，学生学习更为系统化;讲矩阵与运算时，直接给出利用矩 阵的初等变换求矩阵的逆,并将矩阵的初等变换贯穿于求矩阵的逆、解线 性方程组、求向量组的极大线性无关组以及秩;讲第五章相似矩阵及二次 型时，通过震动方面的实例将特征值与特征向量、实对称矩阵的对角化、 化二次型为标准性贯穿起来。 2.注重知识点的自然衔接与定理、结论的多种表述，以便增强学生对 数学内在规律的了解。例如，我们把第四章第三节向量组的秩与第三章第 二节矩阵的秩结合起来讲授，引导学生找出两个知识点的区别与联系，更 利于学生掌握这两部分内容;在第四章第二节中，教材将向量组的线性相 关性和线性方程组的求解联系起来，以淡化线性相关性这个难点，但新问 题出现了用抽象的知识点解释新的更加抽象的知识点，学生思维混乱。为 达到既不造成学生思维的混乱，又使学生较好地理解向量组的线性相关性 这一部分内容，我们讲授线性相关与线性无关知识时，先给出二维和三维 的情况，尽量具体化、形象化、直观化，再强调线性相关、线性无关的定义, 由定义出发多举例子、多提问，引导学生观察，举一反三，并发现线性相关 性定义与线性方程组的内在联系，最后给出用定义、用线性方程组的解、 用矩阵的秩等一系列判断线性相关性的判定定理。 三、实际应用和思维养成兼顾，做到“鱼与熊掌兼得”。 工科学生学习线性代数往往以学会必需的数学方法、操作及处理问题 的技能为目标,而忽视理论知识，例如，线性代数的灵魂内容一一向量的线 性关系、线性变换，学生往往有“听得懂但是不会做”的困惑。笔者认为, 这与缺乏思维训练是分不开的。而一个学生如果基础素质不够好,就会后 劲不足，将来在专业上也走不远。所以,通过线性代数教学进行必要的思维 训练，提高学生综合科学素养是非常重要的。为此，我们必须兼顾实用和思 维训练两个方面 1. 为增强实用性，激发学生的学习兴趣,我们引入一些与课程相关的 应用实例（如逆矩阵知识编码、营养食谱的调配、交通流、网络流、图形 变换等）。下一步，在有条件的情况下，介绍相关的运算软件（如MATLAB）, 结合数学实验，使学生具备较强的实用能力。 2. 为工科学生后续专业需求，在教学过程中加强学生的思维训练。以 向量的线性关系为例，直接借助前面所学线性方程组知识解释向量的线性 关系，大多数学生能通过记定理勉强记住一些判断向量线性关系的方法， 实用性加强，却没有深刻理解这些方法背后严谨优美的数学理论。那些方 法是最终结果、是表象，而这些理论才是内在的、深刻的，是能够培养他们 逻辑思维、抽象思维、推理思维以及严谨性的有意义的学习内容。为此, 在教学过程中，我们应注重引导学生学会观察，实事求是，对线性方程组本 身和求解过程进行观察，发现它的内在